答案
一．1负号；21；
111
3

1


0


0

；
010
4123；
5

0


0


1

1

2
14
0
0



0
12
0
0

；6
k121；
75；
81
90
1011143；

0
0
21
0011
12
213114151002
二解：易验证123线性无关，从而可施行施密特标准正交化
先正交化11111T，
2
2


2111


1
012T

3111T3
101T
，
3
3

3222


2

3111


1

2
03T

1101T2

5111T3


56


53

56
T
再单位化
e1
11
1111T3
e2
22
1101T2
e3
33

6121T即为所求6
三解对矩阵实施初等行变换将其化为行最简型矩阵得
112

0
2
1
25
11
r
1

0
01
00
13
01
2031300111

1
1
0
4
1

0
0
0
0
0

所以矩阵的列向量组的秩是3将矩阵的第i列记为ai则a1a2a3为矩阵列
f向量组的一个最大无关组并且a4a13a2a3a5a2a3
111
01a11四．解：D
D
1011a2
1111
1
11a10
0
110a2
0
011
1a
100
a

1
1
11
ai1i
0
0
a100a2
1
0
0
1

i1
1ai


i1
ai

000
a

513
五
解：1
二次型
f
所对应的矩阵为：
A


1
5
3


333
2可求得detAE49
于是A的特征值049
1
2
3
1
1
1
特征向量
p1


12



p2


1


0
p3


1

1
将其单位化得
q
p
1
11
6
6q

p2
11
2
2
pp1
1262
20
q
p
1
31
3
3
p3
313
故正交变换为：
f

x1x2x3





16162
6
11
2
3


y1

12
0

1313



yy
23


标准型：
f

4
y
2

9
y
2

2
3
六解用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯型矩阵得
1

A
b


30
121
112
112
136
a
0

r
b
1

0
0
110
120
120
160
a
3a

b3a

5
4
3
3
1
2


0
0
0
0
0
2

2a

1
要使方程组有解
则
R
A

RB

b2

3a2a

00

a

1b

3
要使方程组无解则a1或b3
1
2
有解时

A
b


00
110
120
120
160
1
3

0
r
1

0
0
010
120
120
560
2
3

0

0
0
0
0
0
0


0
0
0
0
0
0

取x3x4x5为自由未知数
令


x3x4x5



1

0
0



010



0

0
1



得

x1x2


1

2


1

2



56


所以齐
115

2


2


6

次方程组的基础解系是1

1

0


2

01


3

0

0


0
0
1
2
3
x30
令

x4



0


x50

3
得非齐次方程组的一个特解是0

0
所以非齐次方程组
0r