所围成的闭区域；
yd
2
dx
2xydy
解：Dx
1
xx…（4分）
f32xdx9
21
4…（6分）
x
7、已知连续函数fx满足
0
f
tdt

2xfx

x
，且
f
1

0
，求
f
x
。
解：关系式两端关于x求导得：
f
x

2
f
x
2xf
x1即
f
x

12x
f
x


12x
…（2分）
这是关于fx的一阶线性微分方程，其通解为：
1xcc1
x
x…（5分）
fx11
又f10，即c10，故c1，所以
x…（6分）
y2y2
8、求解微分方程
1y0。
ypdp
pdp2p20
解：令yp，则
dy，于是原方程可化为：dy1y
…（3分）
即
dpdy
21y
p

0
，其通解为
p


c1e
21y
dy
c1y12…（5分）
dydx
dyc1y12即y12
c1dx
1
y1
故原方程通解为：
c1xc2…（6分）
x2
9、求级数
13
的收敛区间。

解：令tx2幂级数变形为
1
t
Rt3

lim

a
a
1
3
1
lim
1

3
…（3分）

1

1
当t1时级数为
0
3
收敛；
1
当t1时级数为
13
发散
t
故
13
的收敛区间是It11…（5分）
x2
那么
13
的收敛区间为Ix13…（6分）
fsi
2
x
10、判定级数
1
是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
si
2
x1

解：因为

…（2分）
1
1
lim
10
1
由比值判别法知
1
收敛Q


，…（4分）
si
2
x
si
2
x
从而由比较判别法知
1


收敛，所以级数
1
绝对收敛…（6分）
四、证明题每小题5分共10分


u

u
u
1
1、设正项级数
1收敛证明级数
1
也收敛。
证：
u
u
1

12
u

u
1
，…（3分）
而由已知
12
u

u
1
收敛，故由比较原则，
u
u
1也收敛。…（5分）
y
1z1zz
z2、设
fx2y2其中
fu为可导函数证明x
x
y
y

y2
z2xyf
证明：因为x
f2
…（2分）
zf2y2f
y
f2…（4分）
1z1z2yff2y2f1z
所以xxyy
f2
yf2
yfy2…（5分）
一、填空题每小题3分共15分
评
阅卷
分
人
1、设zxyfyx，且当x0时，zy2，则z
2、计算广义积分
1
dxx2


3、设zl
1x2y2，则dz12
4、微分方程y6y9y5x1e3x具有形式的特解
3
1
5、级数
19
的和为二、选择题每小题3分共15分
评
阅卷
分
人
f6、
lim
x0y0
3si
x2x2
y2y2

的值为
A0B3C2D不存在
7、fxxy和fyxy在x0y0存在且连续是函数fxy在点x0y0可微的
A必要非充分的条件B充分非必要的条件
C充分且必要的条件D即非充分又非必要的条件
8、由曲面z4x2y2和z0及柱面x2y24所围的体积是
2
d
4
r
4r2dr
4

2d
2
r
4r2drr