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第9讲
【2013年高考会这样考】
曲线与方程
1.考查方程的曲线与曲线的方程的对应关系.2.利用直接法或定义法求轨迹方程.3.结合平面向量知识能确定动点轨迹,并会研究轨迹的有关性质.【复习指导】正确理解曲线与方程的概念,会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题,用方程的观点实现几何问题的代数化解决,并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程,常用方法有:直接法、定义法、待定系数法、相关点法、参数法等。
基础梳理1.曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程fx,y=0的实数解建立了如下关系:1曲线上点的坐标都是这个方程的解.2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线.2.直接法求动点的轨迹方程的一般步骤1建立适当的坐标系,用有序实数对x,y表示曲线上任意一点M的坐标.2写出适合条件p的点M的集合P=MpM.3用坐标表示条件pM,列出方程fx,y=04化方程fx,y=0为最简形式.5说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.3.两曲线的交点1由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解,即两个曲线方程组成的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程组无解,两条曲线就没有交点.2两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解.可见,求曲线的交点问题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.
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一个主题通过坐标法,由已知条件求轨迹方程,通过对方程的研究,明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务,是解析几何的核心问题,也是高考的热点之一.四个步骤对于中点弦问题,常有的解题方法是点差法,其解题步骤为:①设点:即设出弦的两端点坐标;②代入:即代入圆锥曲线方程;③作差:即两式相减,再用平方差公式把上式展开;④整理:即转化为斜率与中点坐标的关系式,然后求解.五种方法求轨迹方程的常用方法1直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系Fx,y=0;2待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数;3定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;4代入转移法:动点Px,y依赖于另一r