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第8讲
【2013年高考会这样考】
直线与圆锥曲线的位置关系
1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系或交点个数，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．
基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0A、B不同时为0代入圆锥曲线C的方程Fx，y＝0，消去y也可以消去x得到一个关于变量x或变量y的一元方程．Ax＋By＋C＝0，即消去y后得ax2＋bx＋c＝0Fx，y＝0，1当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0直线与圆锥曲线C无公共点．2当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2．圆锥曲线的弦长1圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段，线段的长就是弦长．
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2圆锥曲线的弦长的计算设斜率为kk≠0的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，Ax1，y1，Bx2，y2，则AB＝x2－x12＋y2－y12＝1＋k2x1－x2＝2psi
2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角．11＋k21－y2抛物线的焦点弦长AB＝x1＋x2＋p＝y
一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求过定点、平行弦弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测x2y21．人教A版教r