是正整数，
t
是无理数，所以
ma
ab
bm2
ab
31m

00
于是可得
ab
ab

31m31mm2
因此，ab是关于x的一元二次方程x2m31x31mm20的两个整数根，该方程
的判别式m312431mm231m315m0
又因为ab是正整数，所以ab31m0，从而可得0m315
又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m6符合要求。
把m6代入可得ab31mm2150
8
f第二试（B）
一、（本题满分20分）已知t21，若正整数abm使得等式atmbtm17m
成立，求ab的值。解：因为t21，所以t2322
等式atmbtm17m即abt2mabtm217m
即ab322mab21m217m，
整理得mab2ab23abmabm217m0
于是可得
ab217
ab

17m

m
2
m


因此，ab是关于x的一元二次方程x22m17x17mm20……○1的两个整数根，
方程○1的判别式4m172417mm2417m172m0
又因为abm是正整数，所以ab217m0，从而可得0m17
2又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有m8符合要求，
把m8代入得ab17mm272。
二、（本题满分25分）在ABC中，ABAC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足ABAC2OI。
求证：（1）OI∥BC；
（2）SAOCSAOB2SAOI。
证明（1）作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。
设BCa，ACb，ABc。
易求得CM1a，CN1abc，所以MNCMCN1cbOI，
2
2
2
又MN恰好是两条平行线OM，IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM，IN之间的
9
f垂线段，所以OI∥MN，所以OI∥BC。
（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI，CI，设OMINr（即为ABC的内切圆半径），
则
SAOCSAOBSAOISCOISAICSAIBSAOISBOI
2S
AOI
S
BOI
S
COI
S
AIC
S
AIB
2S
AOI
1OIr2
1OIr2
1ACr2
1ABr2

2S
AOI

r


OI

1b2
12
c


2S
AOI
三、（本题满分25分）若正数abc满足

b2
c22bc
a2
2


c2
a22ca
b2
2


a2
b22ab
c2
2

3
，
求
代
数
式
b2c2a2c2a2b2a2b2c2的值。
2bc
2ca
2ab
解：由于abc具有轮换对称性，不妨设0abc
（1）若cab，则cab0cba0，从而得：
b2c2a2
cb2a2
1
1
2bc
2bc
c2a2b21ca2b21
2ca
2ca
a2b2a2ab2c211
2ab
2ab
所以


b2
c22bc
a2
2


c2
a22ca
b2
2


a2
b22ab
c2
2

3，与已知条件矛盾。
（2）若cab，则0cab0cba，从而可得：
b2c2a2
cb2a2
0
1
1
2bc
2bc
0c2a2b21ca2b21
2ca
2ca
0a2b2c21ab2c21
2ab
2ab
10
fa2b2a2ab2c211
2ab
2ab
所以


b2
c22bc
a2
2


c2
a22ca
r