的平分线交圆O于点D，若CD3，则AB（A）（A）2（B）6（C）22（D）3
4
f4不定方程3x27xy2x5y170的全部正整数角（xy）的组数为（B）
（A）1（B）2（C）3（D）4
5矩形ABCD的边长AD3，AB2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN（C）
（A）35（B）55（C）95（D）115
7
14
28
28
6设
为正整数，若不超过
的正整数中质数的个数等于合个数，则称
为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B）（A）33（B）34（C）2013（D）2014
5
f二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
1已知实数xyz满足xy4z1xy2y9则x2y3z42将一个正方体的表面都染成红色，再切割成
3
2个相同的小正方体，若只有一面是
红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则
8
3在ABC中，A60C75AB10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为56
6
f4如果实数xyz满足x2y2z2xyyzzx8，用A表示xyyzzx的
最大值，则A的最大值为463
第二试（A）
一、（本题满分20分）已知实数abcd满足2a23c22b23d2adbc26求
a2b2c2d2的值。
解：设ma2b2
c2d2，则2m3
2a22b23c23d212
因为2m3
22m3
224m
24m
，即12224m
，所以
m
6………………………………………………………………………
…○1
又因为m
a2b2c2d2a2c2b2d2a2d2b2c2
acbd2adbc2adbc26………………………………○2
由○1，○2可得m
6即a2b2c2d26
注：符合条件的实数abcd存在且不唯一，
7
fa2b1c6d23就是一组。
3
3
二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交
于点P，连AC，若OP9AC，求PB的值。
2
AC
解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC∠POB。
又因为OAOC，所以∠OCA∠OAC。
又因为∠COB∠OCA∠OAC，所以2∠POB2∠OAC，所以∠POB∠OAC，所以OP∥AC。
又∠POB∠OAC，所以BACPOB，所以ACAB。OBOP
又OP9AC，AB2r，OBr（r为圆O的半径），代入可求得22
OP3rACr
3
在RtPOB中，由勾股定理可求得PBOP2OB222r。
所以
PBAC

22
2rr

3
2。
3
三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程x2x10的一个根，若正整数abm使得
等式atmbtm31m成立，求ab的值。
解：因为t是一元二次方程x2x10的一个根，显然t是无理数，且t21t。
等式atmbtm31m即abt2mabtm231m，
即ab1tmabtm231m，即mababtabm231m0
因为
a
b
m
r