y0
y0kxx0→y0
x→x0
lim
沿yy0kxx0→P0
P→P0
limfxA

fx→AP以某种方式趋于P0
2极限不存在的判定可采用如下方法：极限不存在的判定可采用如下方法：不存在的判定可采用如下方法有关；或者，特别地，令沿yy0kxx0→P0，若极限值与k有关；或者，特别地，寻找两种不同趋近方式，使有不同极限值，则可断言极限不存在不同趋近方式，使有不同极限值，则可断言极限不存在极限不存在【例5】求极限】解：令
lim
x→0y→0
yxxx2y2
xρcosθ、ρsi
θy
ρ0显然
yxxρ2si
θcosθcosθρsi
θcosθcosθ≤2ρ→0ρx2y2yxx0夹逼定理根据，夹逼定理根据，有limx→0x2y2y→00≤
7
f【例6】求极限】
lim
x→0y→0
xy11xl
1si
y
解因当α→0时，l
1α～αα11～α
1α故由limsi
y0和x→02y→0
limsi
xy0得
x→0y→0
1xyxy111limlim2x→0xl
1si
yx→0xsi
y2y→0y→0
xy的存在性【例7】判断极限limx2y2的存在性】x→0yx
yo
y2xyx
解：令
yx则lim
x→0yx
xyx21lim222x→02xxy2yx
x
令
xy2x22y2x则lim2lim2x→0xy2x→05x5yxyx
时原式有不同极限值，由于沿两条不同途径→由于沿两条不同途径xy→00时原式有不同极限值，所以原式极限不存在四二元函数的连续性1【定义】fxy在P0连续定义】2二元连续函数的性质【定理1】有限个连续函数经四则运算和复合后仍连续】有限个连续函数经四则运算和复合后仍连续【定理2】设fP是有界闭域D上的连续函数那么】i有界性有界性有界性ii最值性最值性最值性iii介质性介质性介质性
P→P0
limfPfP0
fP在D上有界；
fP在D上必须取最大值和最小值
fP在D上取到介于最小值m与最大值M之间的任何
一个数即∈mMξη∈D使得fξη
3二元初等函数的连续性（书中没提到！）书中没提到！）【定义】由二元基本初等函数经过有限次四则运算和复合步骤所构成的可用定义】一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数二元初等函数一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数【命题】一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．命题】一切二元初等函数在其定义区域内是连续的．
8
f【例8】求】
xy→01
limx22y23xy
初等函数的连续性解：根r