量的变化趋势，比一元函数要复杂得多。很大的区别，难得多特别是自变量的变化趋势，比一元函数要复杂得多。3二元函数极限的计算二元函数极限的计算极限1先讨论直角坐标系和极坐标系下自变量的变化状态的关系先讨论直角坐标系和极坐标系下自变量的变化状态的关系（i）xy→00即x→0且y→0）即证：““fxyAε
ρ
x2y2→0
”显然由x→0且y→0立得ρx2y2→0”设x→0不成立，则有正数a0使得某时刻起xa故成立着不成立，
矛盾。ρx2y2≥xa与ρ→0矛盾。
不成立也得出矛盾。命题得证。同理y→0不成立也得出矛盾。命题得证。至少一个成立（ii）x→∞或y→∞至少一个成立）至少一个成立证：““
ρx2y2→∞
22”显然ρxy≥maxxy→∞
”设x→∞且y→∞不成立，则有正数a使得某时刻起x≤a且不成立，≤
x≤a故ρx2y2≤2a这与ρ→∞矛盾。≤∞矛盾。
6
f（iii）因二元函数的极限运算法则与一元函数类似，故经常不加证明引用）因二元函数的极限运算法则与一元函数类似，一元函数极限的命题一元函数极限的命题2二元函数极限的计算方法（与一元函数类似）：二元函数极限的计算方法（与一元函数类似）：极限的计算方法①根据定义、运算法则直接计算、证明；根据定义、运算法则直接计算、证明；用消去致零因子等恒等变换方法求解；②用消去致零因子等恒等变换方法求解；将二元自变量通过替换成一元情形以方便论证；③将二元自变量通过替换成一元情形以方便论证；用夹逼定理论证明、计算极限④用夹逼定理论证明、计算极限采用无穷小替换；⑤采用无穷小替换；自变量采用极坐标，起着重要作用，而正、余弦函数是有界，⑥自变量采用极坐标，其中模ρ起着重要作用，而正、余弦函数是有界，便于利用夹逼定理。便于利用夹逼定理。4多元函数极限不存在的判定方法多元函数极限不存在的判定方法极限不存在的判定1对比：一元函数极限自变量变化是单一的；多元函数极限定义中P→P0对比：一元函数极限自变量变化是单一的；多元函数极限极限自变量变化是单一的极限定义中的方式是任意的的方式是任意的一元中
x→x00
lim
fxA
x→x00
lim
fxA

x→x0
lim
fxA
x→x0yy0
lim
lim
fxyA
fxyA
fxyA
沿平行x轴→P0
沿平行y轴→P0
多元中
x→x0y→y0
limfxA

xx0y→r