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是单位圆盘D和它的内部°的共同边界.的图形,【例3】求下列函数的定义域D,并画出D的图形】x1zarccos22xy21解令使函数arccosx2有意义使函数x≤222使函数xy10使函数根式和分式有意义所求定义域为无界非开、非闭区域所求定义域为无界非开、非闭区域:非开
Df
D
yx2y2R2RDoRx
y
2
O
12x
Dfxyx2y212≤x≤2
2二元函数的几何意义
设函数zfxy的定义域为D,Pxy∈D,坐标在空间确定点以x、y、z为坐标在空间确定点Mxyz,当x取上一切点时,得点集称为二元函数的图形称为二元函数的图形:遍D上一切点时,所得点集称为二元函数的图形:xyzzfxyxy∈D
常见的二元函数的图形通常是一张曲面常见的二元函数的图形通常是一张曲面例如例1【例4】1】
z1x2y2
z
1
的定义域为
O
1
Dxyx2y2≤1
图形是以原点为心,半径为的球面的上半部分右图的球面的上半部分右图图形是以原点为心,半径为1的球面的上半部分右图
y
x
1
2函数zsi
xy
的定义域为全平面
R2xyx∈Ry∈R
其图形如右:其图形如右:
5
f三二元函数的极限三1【定义】设zfPfxyP0x0y0∈D定义域定义】定义域
P→P0
limfPA
xy→x0y0
lim
limfxyA或x→xfxyA0
y→y0
Pxy无限接近P0时,fxy随着无限接近于数A无限接近随着无限接近于数ε0δ0当0xx02yy02δ【注】定义中P→P0的方式是任意的2多元函数的极限的性质性质1局部有界性局部有界性存在,性质1°局部有界性若limfx存在,则存在δ0,使得fx在a的x→a邻域UδaP0≤Paδ内有界;内有界;性质2保号性保号性性质2°保号性若limfxA0,则存在δ0,使得fx在a的邻在x→a内取正值;域UδaP0Paδ内取正值;性质3比较性比较性性质3°比较性若limfxA,limgxB,并且存在δ0,使x→ax→a得在a的空心邻域UδoaP0Paδ有fx≥gx则A≥B性质4四则运算元函数运算相似性质4°四则运算四则运算与一元函数运算相似四则运算除了这些相似性之外,必须指出,多元函数的极限较之一元函数的极限,除了这些相似性之外,必须指出,多元函数的极限较之一元函数的极限,有很大的区别,难得多特别是自变r
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