象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论
⑤错误．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2＋bx＋ca≠0的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标
为4，0，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为0，0，结论①正确；
b
②∵抛物线y＝yax2bxca≠0的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，∴－2a＝
2，c＝0，∴b＝－4a，c＝0，∴4a＋b＋c＝0，结论②正确；③∵当x＝－1和x＝5时，y值相同，且均为正，∴a－b＋c＞0，结论③错误；
④当x＝2时，yax2bxc＝4a＋2b＋c＝4a＋b＋c＋b＝b，
∴抛物线的顶点坐标为2，b，结论④正确；⑤观察函数图象可知：当x＜2时，yy随x增大而减小，结论⑤错误．综上所述，正确的结论有：①②④．故答案：C．※考向四：纯二次函数代数推理
典例4：（2017泰安）已知二次函数yax2bxc的y与x的部分对应值如下表：
x10
1
3
y31
3
1
f下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x1；③当x＜1时，函数值y随x
的增大而增大；④方程ax2bxc0有一个根大于4，其中正确的结论有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据二次函数的图象具有对称性和表格中的数据，可以得到对称轴为x3，再由2
图象中的数据可以得到当x3取得最大值，从而可以得到函数的开口向下以及得到函数当2
x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，然后跟距x0时，y1，
2
2
x1时，y3，可以得到方程ax2bxc0的两个根所在的大体位置，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格可知，二次函数yax2bxc有最大值，当x303时，取得最大值，22
∴抛物线的开口向下，故①正确，其图象的对称轴是直线x3，故②错误，2
当x＜3时，y随x的增大而增大，故③正确，方程ax2bxc0的一个根大于1，小于0，2
则方程的另一个根大于3，小于314，故④错误，
故答案：B．※考向五：二次函数与几何综合推理
典例5：（2017泸州）已知抛物线y1x21具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点4
F（0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（3，3），P是抛物线
y1x21上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）4
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线yy1x21于点P，由PFPE结合三角形4
三边关系，即可得出此时△PMF周长取最小值，再由点F、M的坐标即可得出MF、ME的
长度，进而得出△PMF周长的最小值．
【答案】解：过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物r