理解了余子式和代数余子式的概念，掌握行列式按行（列）展开；
2对利用行列式按行（列）展开的方法计算行列式等方面的应用有待加强
25
f第（4）次课授课时间（）
教学章节
第一章第七节
学时2学时
教材和参考书
《线性代数》第4版同济大学编
1教学目的：了解克拉默法则的内容了解克拉默法则的证明会利用克拉默法
则求解含有
个未知数
个方程的线性方程组的解；
2教学重点：克拉默法则的应用；
3教学难点：克拉默法则的应用
1教学内容：克拉默法则；2时间安排：2学时；3教学方法：讲授与讨论相结合；4教学手段：黑板讲解与多媒体演示
26
f基本内容
备注
第七节克拉默法则
含有
个未知数x1x2x
的
个方程的线性方程组
a11x1a12x2a1
x
b1
a21x1a22
x2
a2
x2

b2
a
1x1a
2x2a
x
b

（1）
与二、三元线性方程组相类似它的解可以用
阶行列式表示
定理1（Cramer法则）如果线性方程组1的系数行列式不等于
零即
a11a1
D0
a
1a

则方程组1有且仅有一组解：
x1

D1D
x2

D2D
…

x


D
D
2
其中Djj12
是把系数行列式D中的第j列的元素用方程组右端
的常数列代替而其余列不变所得到的
阶行列式
aabaa11
1j1
1
1j1
1

a
Dj

21


a2j1
b2

a2j1

a2

aabaa
1

j1


j1


证明在第二章
当b1b2b
全为零时即
a11x1a12x2a1
x
0
a21x1a22
x2
a2
x2

0
a
1x1a
2x2a
x
0
27
f称之为齐次线性方程组显然齐次线性方程组必定有解
x10x20x
0）根据克拉默法则有
1．齐次线性方程组的系数行列式D0时则它只有零解（没有
非零解）
2．反之齐次线性方程组有非零解则它的系数行列式D0
例1．求解线性方程组
2x1x25x3x48

x1

3x22x2
x3
6x492x45
x14x27x36x40
解系数行列式
21D02
15133062127
010
3270
2
同样可以计算
8151
2851
9D15
32
01
6
812
1D20
95
01
6

108
2
0476
1076
2181
2158
1D30
32
95
627
2
1D40
32
01
927
5
1406
1470
所以
x1

D1D
3x2

D2D
4
x3

D3D
1
x4

D4D
1
注意：
1克莱姆法则的条件：
个未知数
个方程且D0
2用克莱姆法则求解方程组运算量大一般不采用它求解方程
28
f组。
3克莱姆法则具有重要的理论意义。
4克莱姆法则说明线性方程组的解与它的系数、常数项之间的
依存关系
例2用克拉默法则解方程组

3x1

5x2

2x3

x4

3

3x24x1x2
x4
x3
4x4
11
6
x1x23x32x456
例3已知齐次r