；3教学方法：讲授与讨论相结合；4教学手段：黑板讲解与多媒体演示
20
f基本内容
备注
第六节行列式按行（列）展开
定义在
阶行列式中，把元素aij所处的第i行、第j列划去，
剩下的元素按原排列构成的
1阶行列式，称为aij的余子式，记为
Mij；而Aij1ijMij称为aij的代数余子式
引理如果
阶行列式中的第i行除aij外其余元素均为零，即：
a11a1ja1




D0
aij


0



a
1a
ja

则：DaijAij
a1100
证
先证简单情形：
a
D
21

a22
a2

a
1a
2a

再证一般情形：
定理行列式等于它的任意一行（列）的各元素与对应的代
数余子式乘积之和，即
按行：按列：
ai1Aj1ai2Aj2ai
Aj
0
ij
a1iA1ja2iA2ja
iA
j0ij
21
f证：
（此定理称为行列式按行（列）展开定理）
a11
a12

a1



Dai1000ai2000ai



a
1
a
2

a

a11a12a1
a11a12a1

a11a12a1

ai1000ai2000ai

a
1a
2a
a
1a
2a

a
1a
2a

aAi1i1ai2Ai2ai
Ai
i12

例1
3
：D5
21
112
134
011533
解
21
12
例2D


21
12
22
f21
10
01
12
解D


12
1r2r


21
21
12
12
D
1
从而解得D
1
例3．证明范德蒙行列式
111
x1D
x12

x2x
x22x
2
xixj


ij1
x
11
x
12

x
1

其中，记号“”表示全体同类因子的乘积
证用归纳法
11
因为D2x1
xx2
1
xixj
x2
2ij1
所以，当
2
2时，（4）式成立
现设（4）式对
1时成立，要证对
时也成立为此，设法把D

降阶；从第
行开始，后行减去前行的x1倍，有
11
1
1
0x2x1
D
0x2x2x1
0
0
x
22
x2x1
x3x1
x3x3x1
x
23
x3x1
x
x1
x
x
x1
x
2

x
x1
（按第一列展开，并提出因子xix1）
23
f111

x2

x1x3

x1x


x1
x2
x3

x

1阶范德蒙行列式
x
22
x
23

x
2

由假设
x2x1x3x1x
x1
xixj
xixj

ij2

ij1
定理的推论行列式一行（列）的各元素与另一行（列）对应
各元素的代数余子式乘积之和为零，即
ai1Aj1ai2Aj2ai
Aj
0
ij
按列：a1iA1ja2iA2ja
iA
j0ij
结合定理及推论，得



aikAjkDijakiAkjDij
k1
k1
，其中ij

1i0i
j
j
5312017252
例4计算行列式D02310的值。
0414002350
24
f回顾和小结
小结：行列式按行（列）展开。1余子式和代数余子式的概念2行列式按行（列）展开
复习思考题或作业题
123
1200
思考题：设D
1030
100
求第一行各元素的代数余子式之和
作业题：
习题一第7（2，3，5，6）
实施情况及分析
1通过学习学员r