基
√正交矩阵的性质：①ATA1；
②AATATAE；
③A是正交阵则AT（或A1）也是正交阵；
④两个正交阵之积仍是正交阵；
⑤正交阵的行列式等于1或1
A的特征矩阵EA
fA的特征多项式EAf
A的特征方程EA0
AxxAx与x线性相关
√上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的
各元素
√若A0则0为A的特征值且Ax0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量
√A12


itrA
1
a1
√
若
r

A

1
则
A
一定可分解为
A

a2

b1
b2
a


的特征值为：1trAa1b1a2b2a
b

b
、A2a1b1a2b2a
b
A从而A
23
0
√若A的全部特征值12
，fx是多项式则
①fA的全部特征值为f1f2f
；
②
当
A
可逆时
A1
的全部特征值为
11

12

1


A
的全部特征值为
A1

A2

A


kA
aAbE
√是A的特征值则
A1A2
Am

A
分别有特征值
k
ab
1

2

m
A
kA
aAbE
√
x是A关于的特征向量则x也是


A1A2
Am

A
关于
k
ab
1

2
的特征向量
m
A
A与B相似BP1AP（P为可逆阵）记为：AB
√A相似于对角阵的充要条件：A恰有
个线性无关的特征向量这时P为A的特征向量拼成
的矩阵，P1AP为对角阵主对角线上的元素为A的特征值
f√A可对角化的充要条件：
riEAki
ki为i的重数
√若
阶矩阵A有
个互异的特征值则A与对角阵相似
A与B正交相似BP1AP（P为正交矩阵）√相似矩阵的性质：①A1B1若AB均可逆
②ATBT
③AkBk
（k为整数）
④EAEB从而AB有相同的特征值但特征向量不一定相同
即x是A关于0的特征向量P1x是B关于0的特征向量
⑤AB
从而AB同时可逆或不可逆
⑥rArB
⑦trAtrB
√数量矩阵只与自己相似
√对称矩阵的性质：
①特征值全是实数特征向量是实向量；
②与对角矩阵合同；
③不同特征值的特征向量必定正交；
④k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；
⑤必可用正交矩阵相似对角化（一定有
个线性无关的特征向量A可能有重的特征值重数
rEA）
A可以相似对角化A与对角阵相似记为：A（称r