是A的相似标准型）√若A为可对角化矩阵则其非零特征值的个数（重数重复计算）rA√设i为对应于i的线性无关的特征向量则有：
f1

A12

A1A2
A
1122

12






2


P








√若A
BC
D
则：
A
C
B
D

√若AB则fAfBfAfB
二次型fx1x2x
XTAX
A为对称矩阵
Xx1x2x
T
A与B合同BCTAC
记作：AB（AB为对称阵C为可逆阵）
√两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数
√两个矩阵合同的充分条件是：AB
√两个矩阵合同的必要条件是：rArB
√fx1x2
正交变换
x
XTAX经过合同变换
XCY化为fx1x2
可逆线性变换

x
diyi2标准型
1
√二次型的标准型不是惟一的与所作的正交变换有关但系数不为零的个数是由rA
正惯性指数负惯性指数
惟一确定的
√当标准型中的系数di为1，1或0时则为规范形√实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数
1√任一实对称矩阵A与惟一对角阵
√用正交变换法化二次型为标准形
11
10
合同0
f①求出A的特征值、特征向量；
②对
个特征向量单位化、正交化；
③构造C（正交矩阵）C1AC；

④作变换XCY新的二次型为fx1x2x
diyi2的主对角上的元素di即为A的
1
特征值
正定二次型x1x2x
不全为零，fx1x2x
0正定矩阵正定二次型对应的矩阵
√合同变换不改变二次型的正定性
√成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：
①正惯性指数为
；
②A的特征值全大于0；
③A的所有顺序主子式全大于0；
④A合同于E，即存在可逆矩阵Q使QTAQE；
⑤存在可逆矩阵P，使APTP
（从而A0）；
1

⑥存在正交矩阵，使CTACC1AC
2







√成为正定矩阵的必要条件：aii0；A0
（i大于0）
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