0
若rA
若rA
1若rA
1
ABAB
kAk
A
AkAk
ABTATBT
A1TAT1
A1kAk1Ak
A1
A1

AA
ATAT
AkAk
AAAAAE
f12
3

12是Ax0的解12也是它的解
是Ax12
0的解对任意kk也是它的解

k是Ax0的解对任意k个常数
齐次方程组
12k1122kk也是它的解

线性方程组解的性质：
4
是Ax的解是其导出组Ax0的解
是Ax的解
512是Ax的两个解12是其导出组Ax0的解
67
2是Ax的解则1也是它的解12是其导出组Ax0的解12k是Ax的解则

1122kk也是Ax的解12k1

1122kk是Ax0的解12k0
√设A为m
矩阵若rAm则rArA从而Ax一定有解
当
m



时一定不是唯一解

方程个数向量维数

未知数的个数向量个数
则该向量组线性相关
m是rA和rA的上限
√矩阵的秩的性质：
①rArATrATA
②rAB≤rArB
③rAB≤mi
rArB
④
rArkA0
若k0若k0
⑤
Ar
BrArB
⑥若A0则rA≥1
⑦若Am
B
s且rAB0则rArB≤
⑧若PQ可逆则rPArAQrA
⑨若A可逆则rABrB
若B可逆则rABrA
⑩若rA
则rABrB且A在矩阵乘法中有左消去律
fAB0BABACBC
标准正交基
个
维线性无关的向量两两正交每个向量长度为1与正交0
是单位向量1
√内积的性质：①正定性：0且0
②对称性：
③双线性：12121212ccc
施密特123线性无关
11

正交化
2

2

2111
1
3

3

3111
1

3222
2
单位化：1
11
2
22
3
33
正交矩阵AATE
√A是正交矩阵的充要条件：A的
个行（列）向量构成
的一组标准正交r