速度只能达到30海里小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得
o
OC103AC10故OCAC且对于线段AC上任意点P有OP≥OCAC，而小艇的最
高航行速度只能达到30海里小时，故轮船与小艇不可能在A、（包含C）C的任意位置相遇，设∠CODθ0oθ90o则在RtCOD中，CD103ta
θ，OD
103，cosθ
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t
10103ta
θ103和t，30vcosθ
所以
10103ta
θ1031533，解得v又v≤30故si
θ30o≥，o30vcosθsi
θ302
从而30o≤θ90o由于θ30o时，θ取得最小值，且最小值为ta

3，于是3
当θ30时，t
o
10103ta
θ2取得最小值，且最小值为。303
此时，在OAB中，OAOBAB20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。20．（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数fxx3x，其图象记为曲线C。（i）求函数fx的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1x1fx1处的切线交于另一点
o
P2x2fx2，曲线C与其在点P2x2fx2处的切线交于另一点P3x3fx3，线段
9
fP1P2P2P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1S2则
S1为定值；S2
（Ⅱ）对于一般的三次函数gxax3bx2cxda≠0请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。【解析】（Ⅰ）（i）由fxx3x得fx3x213x
33x，33
当x∈∞
33和（，∞）时，fx0；33
当x∈
33时，fx0，33
3333和（，∞），单调递减区间为。3333
23
因此，fx的单调递增区间为∞
（ii）曲线C与其在点P1处的切线方程为y3x11xx1x1x1即
y3x121x2x1323y3x11x2x由得x3x3x11x2x1，3yxx
231
（即xx1x2x10，解得xx1或x2x1故x22x1，进而有
2
274x1，用x2代替x1，重复上述计算过程，可得42727×164x32x2和S2x24，又x22x1≠0，所以S2x1≠044S1
∫
2x1
x1
x33x12x2x13dx
因此有
S11。S216

（Ⅱ）记函数gxax3bx2cxda≠0的图象为曲线C，类似于（Ⅰ）r