a∫1x12a1x12a
解：∫
1a2x2
dx

dx………………………………………………2分
∫
1xdxarcsi
C…………………………3分aa
四、作图题（共16分）图题（给定函数y
x324x1
（1）找出函数曲线的单调区间及凹凸区间（6分）
《
高等数学C1
》课程试卷（A）参考答案及评分标准
第2页共4页
f（2）求函数的所有渐近线（6分）（3）在直角坐标系中画出函数图像（4分）解：（1）函数的定义域为∞1∪1∞令y′
x3x10，解得x134x1220，无解x13
令y′′
列表…………………………………………………………………………………………2分
x
f′xf′′xfx
∞1
凸
10
11
13凹
30
3∞

极大值
凸
极小值
凹
则函数在∞1∪3∞单增，在11∪13单减，函数曲线的凹区间为1∞，凸区间为∞1……………………………………………………………………4分（2）x1为垂直渐近线………………………………………………………………3分
y
15x为斜渐近线…………………………………………………………3分44
（3）曲线经过（30）和094
1
1
2
3
…………………………………4分五、应用题（共8分）应用题（
《
高等数学C1
》课程试卷（A）参考答案及评分标准
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f已知某厂生产某种产品x件的费用为Cx25000200x售出，要使利润最大，应生产多少件产品，最大利润为多少？解：设生产x件商品，则利润函数Lx为：
LxRxCx500x25000200x
L′x
12x元，若产品以每件500元40
121xx2300x25000………2分4040
1x300，令L′x0，得x6000……………………………………3分201而L′′60000，因此L6000是极大值且唯一极值，所以为最大值………1分20
故当生产6000件商品时可获得最大利润L6000875000元．……………………2分六、证明题（共8分）证明题（证明：arcta
aarcta
b≤ab，其中ab为任意实数。证：令yfxarcta
x，不妨设ab，………………………………………………2分则fx在ba连续且可导由拉格朗日中值定理得，存在点ξ∈ba，有
arcta
aarcta
b1…2分f′ξab1ξ2
因此
arcta
aarcta
b1≤1ab1ξ2
因此arcta
aarcta
b≤ab………r