Bs，C1C2Ct后，在剩下
的
st个集合中，设包含ai的集合有xi个（1ik），由于剩下的
st个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个ai，从而
x1x2xk
st．20分
不妨设
x1

max
1ik
xi，则由上式知
xi



sk
t
，即在剩下的
st
个集合中，包含a1
的集合至少有

sk
t
个．又由于
A1

Ci
i
12t
，故C1C2
Ct都包含a1，因此
包含a1的集合个数至少为


sk
t
t




s
kk
1t



sk
t
（利用k

2）

（利用st．40分k
2015B6、设k为实数，在平面直角坐标系中有两个点集Axyx2y22xy和
Bxykxyk30，若AB是单元集，则k的值为
f◆答案：23★解析：点集A是圆周x12y122，点集B是恒过点P13的直线ly3kx1及下方（包括边界）．作出这两个点集知，当A自B是单元集时，直线l
是过点P的圆的一条切线．故圆的圆心M1l）到直线l的距离等于圆的半径2，故k1k32．结合图像，应取较小根k23．
k21
2014A
2、设集合
3

a

b
1

a

b

2
中最大元素与最小元素分别为
M

N
，则
M

N
的
值为
◆答案：523
★解析：由1ab2知，3b325，当a1，b2时，得最大元素M5，a1
又3b3a23，当ab3时，得最小元素m23。因此，
a
a
Mm523。
2014A三、（本题满分50分）设S12100，求最大的整数k，使得S有k个互不相同
的非空子集，具有性质：对这k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集
中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同。
★解析：对有限非空实数集A，用mi
A，maxA分别表示A中的最小元素和最大元素。考虑S的所有包含1且至少有两个元素的子集，一共有2991个，它们显然满足要求，因为
mi
AiAj1maxAi，故kmax2991。
下面证明k299时不存在满足要求的k个子集我们用数学归纳法证明：对整数
3，集合
12
的任意m（m2
1）个不同的非空子集A1A2Am中，存在两个不同的子集
AiAj，满足AiAj，且mi
AiAjmaxAi①
显然只需对m2
1的情形证明上述结论。
当
3时，将123的全部非空子集分成三组：第一组31323；第二组212；
f第三组1123。由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个是在同一组，取同组的两个子
集AiAj，排在前面的记为Ai，则满足①；假设当
（
3）时，结论①成立，考虑
1时，若A1A2A2
中至少有2
1个子集不含
1，对其中的2
1个子集用归纳假设，可知存在两个子集满足①；若至多有2
11个子集不含
1r