1981年2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编1、逻辑部分
2014B
3、对于实数
R
的任意子集U
，我们在
R
上定义函数
fU
x

1xU0xU
，如果
AB
是实数
R
的
两个子集，则fAxfBx1，的充分必要条件是
◆答案：AB互为补集
★解析：对于任意的xR，fAxfBx1，这说明fAxfBx中至少有一个是1，即xAB，所以ABR，另一方面，fAxfBx中仅有一个是1，即AB，从而AB互为补集。
200115、（本题满分20分）用电阻值分别为a1a2a3a4a5a6a1a2a3a4a5a6的电
阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论．
★解析：首先，对电路图进行截取分段考虑，如下三个图
设6个电阻的组件（如图3）的总电阻为RFG．当Riai，i3456，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小．
证明如下：
1°设当两个电阻R1，R2并联时，所得组件阻值为R：则
1R

1R1

1R2
．故交换二电阻的位置，
f不改变R值，且当R1或R2变小时，R也减小，因此不妨取R1R2．
2°设3个电阻的组件如图1的总电阻为RAB：
RAB

R1R2R1R2

R3

R1R2
R1R3R2R3R1R2
．
显然R1R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取R3为所取三个电阻中阻值最小的一个．
3°设4个电阻的组件如图2的总电阻为RCD：
111R1R2R1R3R1R4R2R3R2R4．
RCDRABR4
R1R2R4R1R3R4R2R3R4
若记S1
RiRj
1ij4
，S2

RiRjRk
1ijk4
．则S1、S2为定值．于是RCD

S2R1R2R3S1R3R4
．
只有当R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取R4R3，R3R2，R3R1，即得总电
阻的阻值最小．
4°对于图3，把由R1R2R3组成的组件用等效电阻RAB代替．要使RFG最小，由3°必需使
R6R5；且由1°，应使RCE最小．由2°知要使RCE最小，必需使R5R4，且应使RCD最小．
而由3°，要使RCD最小，应使R4R3R2且R4R3R1．
这就说明，要证结论成立
19984、设命题P关于x的不等式a1x2b1xc10与a2x2b2xc20的解集相同；命题
Qa1b1c1。则命题Q（
）
a2b2c2
A是命题P的充分必要条件
B是命题P的充分条件但不是必要条件
C是命题P的必要条件但不是充分条件D既不是命题P的充分条件也不是命题P的必要条件
◆答案：D
★解析：若两个不等式的解集都是R，否定A、C，若比值为1，否定A、B，选D
19953、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人
不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中r