合BuvuvAuv
f求B的元素个数的最小值．
★解析：记Aa1a2a11，不妨设a1a2a11
①
若
ai0
1i11
恒
成
立
；
由
于
a1a2a2a3a2a4a2a11a3a11a10a11，
这里显然可以发现有18个数在B中，即B18
②若a1a2ak0ak1ak1a11，其中k5时，由于akak1akak2aka11aka111ak2a11a2a11a1a11有10个非负数；又ak2ak3ak2ak4ak2a11ak3a11ak4a11a10a11有172k个正数，
故此时，B10172k272k17，当k5时，B17，如mi
A012222324，B01222232425262728满足；
③若a1a2ak0ak1ak1a11，其中k6时，由于akak1akak2aka11aka111ak2a11a2a11a1a11有10个非负数；又a1a2a60，则a5a6a5a4a5a3a5a2a5a1a4a1a3a1a2a1有8
个正数，
故此时，B10818
④若ai01i11恒成立；同①显然可以发现有18个数在B中，即B18；
综上。B的元素个数的最小值为17
2015AB10、（本题满分20分）设a1a2a3a4是4个有理数，使得
aiaj
1i
j4


242
32

18
13
，求
a1

a2

a3

a4
的值。
★解析：由条件可知，aiaj1ij4是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，
由此知，a1a2a3a4的绝对值互不相等，不妨设a1a2a3a4，则
aiaj1ij4中最小的与次小的两个数分别是a1a2及a1a3，最大与次大的
两个数分别是a3a4及a2a4，从而必须有

a1a2

a1a3
1
18

10分

a2a4

3
a3a424
于是a2


18a1

a3

1a1

a4

3a2
24a1．
f故a2a3
a1a4


18a12

24a12

2

32
，15
分
结合
a1

Q
，只可能
a1


14
．
由此易知，
a1

14
a2


12
a3

4a4

6
或者a1


14
a2

12
a3

4a4

6
．
检验知这两组解均满足问题的条件．
故a1a2
a3
a4
9．4
20
分
2015A二、（本题满分40分）设SA1A2A
，其中A1A2A
是
个互不相同的
有限集合（
2），满足对任意的AiAjS均有Ai
Aj

S
，若
k

mi
1i

Ai
2证明：
存在x

i1
Ai
，使得x
属于
A1A2A

中至少

k
个集合（这里
X
表示有限集合
X
的元
素个数）。
★证明：不妨设A1k．设在A1A2A
中与A1不相交的集合有s个，重新记为
B1B2Bs，设包含A1的集合有t个，重新记为C1C2Ct．由已知条件，BiA1S，
即BiA1C1C2Ct，这样我们得到一个映射
fB1B2BsC1C2CtfBiBiA1．显然f是单映射，于是，st．10分
设A1a1a2ak．在A1A2A
中除去B1B2r