第三讲
积分学
一、不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例1：计算
∫
x51x2
dx。
42解：原式x1x


12

42x1x23


32

81x215


52
C
注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。
2例2：证明：若acb≠0，则2
∫asi

2
a1si
xb1cosxdu1du2dxA∫B∫222x2bsi
xcosxccosxk1u1λ1k2u2λ2
其中AB为待定系数，λ1
λ2是方程
aλb
b0不相等的实根，cλ
uiaλisi
xbcosxki
2
1aλi
2
i12。
证明：证明：因为asi
x2bsi
xcosxccosx
aλisi
2x2bsi
xcosxcλicos2xλi

1aλi2si
2x2baλisi
xcosxcλiaλicos2xλiaλi1aλi2si
2x2baλisi
xcosxb2cos2xλiaλi1aλisi
xbcosx2λikiui2λiaλii12
（1）





设a1si
xb1cosxAaλ1cosxbsi
xBaλ2cosxbsi
x则有aλ1Aaλ2Bb1bAbBa1，当取
第1页（共9页）
fA
1λ2λ1
a1b1baλ2
B
1λ1λ2
a1（1）式恒成立，b1baλ1时，
因此有
∫asi

2
a1si
xb1cosxdu1du2dxA∫B∫222x2bsi
xcosxccosxk1u1λ1k2u2λ2
二、定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式：
∫fxdxFbFa，其中F′xfx
baa
3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、2、
∫fxdx∫fxfxdx
aab0
∫fxdx∫fabxdx
baa
3、如果fx关于直线xa对称，则有
∫
aδ
aδ
fxdx2∫
aδ
0
fxdx
4、如果fx关于点a0对称，则有
∫
ππ
aδ
aδ
fxdx0
是奇数
是偶数
2
1
3
2L3
5、∫2si
xdx∫2cosxdx00
1
3L1π
222
6、7、
∫
∫
a2π
a
1
si
xdx∫

10
a2π
a
cosxdx4∫2si
xdx

π
0
0
1x2dx∫
π
0
2xx2dx
π
4
2
例3：计算阿桑积分
∫l
12acosxadx，其中a≠1。解：因为12acosxa≥1a0，所以12acosxa
22
2
是连续函数，即
∫l
12acosxadx一定存在。
π
20
∫
π
0
lr