第一讲
极限和连续
εX定义。（略）
一、极限的定义：数列εN定义、函数εδ二、极限的计算方法：
1）代入法（利用函数的连续性limfxfx0）；
x→x0
2）单调有界准则和夹逼准则；
si
x11lim1e；3）两个重要极限：limx→0x→∞xx
4）极限的四则运算法则；5）有界量与无穷小的积还是无穷小；6）等价无穷小的替换：αx→0时，αx
x
si
αx
ta
ax
e
αx
1
l
1αx
arcta
αx
x→x0
1cosαx
u→u0
1αx；2
7）复合函数求极限法则：条件limxu0limfufu0，则有
x→x0
limfxfu0limfuflimx；u→u0x→x0


8）洛必达法则；9）利用泰勒公式求极限；10）利用定积分的定义计算极限；11）利用级数的一些结果计算极限；12）海涅归结原则：（利用它可以把一些数列问题化为函数极限问题）；定理1：1、函数极限limfxA的充要条件是：对任何数列x
，若limx
x0，
x→x0
→∞
则有limfx
A；
→∞
2、函数极限limfxA的充要条件是：对任何数列x
，若limx
∞，则有
x→∞
→∞
limfx
A。
→∞
13）施托尔茨（Stolz）定理（数列极限的洛必达法则）；定理2：设数列b
单调增加且limb
∞，如果lim
→∞
a
a
1存在或为∞，则有
→∞bb
1
lim
a
aalim
1。
→∞b
→∞bb

1
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f证明：证明：设lim
a
a
1A，则对任给的ε0，存在正整数N，当
≥N时恒有
→∞bb
1
a
a
1aaAεAε
1Aεb
b
1b
b
1
由于数列b
单调增加，所以有
AεbNbN1aNaN1AεbNbN1AεbN1bNaN1aNAεbN1bN
……………………
Aεb
b
1a
a
1Aεb
b
1
由此可得
Aεb
bN1a
aN1Aεb
bN1
又因为
a
aN1Aεb
bN1
aaN1a
a
bbaN1b
bN1A
N1A
Ab
b
bN1b
b
b
bN1b
bN1aaN1bbaAbN1
A
N1N1b
b
b
bN1
由于limb
∞，所以存在N1N，当
N1时有
→∞
aN1AbN1ε，并且有b

b
bN11，所以当
N1时有b
a
aaN1aAbN1A≤
AN12εb
b
br