12acosxa2dxlim∑
→∞i1



π
iπl
12acosa2

第2页（共9页）
flim
→∞
π
π

1iπ2l
1a∏12acosa2
i1
1a22
liml
2a1
→∞
a1


（1）当a1时，（2）当a1时，
∫l
12acosxadx0
π
20
∫
π
0
l
12acosxa2dxlim
→∞

π
1a22
l
2a1
a1


2πl
alim
→∞
π
1a2l
2
a1
a2
12
2πl
a。a
注：这里利用了复数开方公式得：a
2

2
12kπ2kπ1∏acosisi
2
2
k0

1iπa21∏12acosa2
i1


4）反常积分（广义积分）（1）设fx在区间a∞上连续，且fx≥0，如果函数反常函数审敛法：
Fx∫ftdt是在区间a∞上的有界函数，则∫
xa
∞
a
fxdx收敛；
（2）设fxgx在区间a∞上连续，且0≤gx≤fxx∈a∞，则有，
∫
∞
a
fxdx收敛可得∫gxdx收敛；∫gxdx发散可得∫
aa
∞
∞
∞
a
fxdx发散。
fxc，gx
（3）设fxgx在区间a∞上连续，fx≥0gx0lim则有如果如果如果（4）如果
x→∞
c≠0∞，则有∫
∞a
∞
a
fxdx和∫gxdx同敛散；
a∞a∞
∞
c0，则有∫gxdx收敛可得∫
∞a
fxdx收敛；
c∞，则有∫gxdx发散可得∫
a
fxdx发散。
∫
∞
a
fxdx收敛，则∫
dx1xcos2x
4
∞
a
fxdx收敛（绝对收敛）。
例4：判别下列反常积分敛散性（1）
∫
∞
（2）
0
∫
∞
0
xdx1x2cos2x
第3页（共9页）
f（1）解：
∫
∞
0
∞
1πdxdx∑∫4241xcosx
0
π1xcos2x
0≤∫

1π

π

1ππdxdxdx≤∫∫424420
π1xcosx1
πcosx1
πcos2x
∫
π
0
1
πta
2x
4
dta
x
∫2
0
π
1
πta
2x
4
dta
x
∫π
π
2
1
πta
2x
4
dta
x

π
1π4
4
因为
∑
0
∞
π
1π4
4
2
收敛，所以
∫
∞
0
dx。1xcos2x
4
（2）因为
∞xdx∞xxxdx≥≥0，∫发散，所以∫发散。22201x01x2cos2x1xcosx1x
5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式
1bfxdx。ba∫a
三、重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念r