，AF1BF2
2m
2
m1
2
m2
。解
2m
2
m1
2
m2

62
得m22。
∵注意到m0，∴m2。∴直线AF1的斜率为
1m22
AF1
。∥，∴
PBPF1BF2AF1
（ii）证明：∵
BF2
，即
PBPF1
1
BF2AF
1
1
PBPFPF
11
BFAF2AF
。
1
1
∴PF1
AF1AF1BF2
BF1。
f由点B在椭圆上知，BF1BF222，∴PF1
AF1AF1BF2
2
2BF2。

同理。PF2
BF2AF1BF2
2
2AF1。

∴PF1PF2
AF1AF1BF2
2
2BF2

BF2AF1BF2
2
1
2AF122

2AFBF2AF1BF2
由①②得，AF1BF∴PF1PF222
22
22mm
2

2

2
，AFBF
mm
22
12
，

32
2。
∴PF1PF2是定值。【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。【解析】（1）根据椭圆的性质和已知1，e和e，都在椭圆上列式求解。2（2）根据已知条件AF1BF2
62
3
，用待定系数法求解。
20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列a
和b
满足：
a
1a
b
a
b
22
，
N，
（1）设b
11
b
a

b2，
N，求证：数列
是等差数列；a

（2）设b
1
2
b
a

，
N，且a
是等比数列，求a1和b1的值．
b
a
a
b
a
b
22
【答案】解：（1）∵b
11
，∴a
1

b
1b1
a
2
。
∴
b
1a
1

b1
a

2
。
∴
f2222b
1bbb
1
1
Na
1a
a
a

2
。
b2∴数列
是以1为公差的等差数列。a

（2）∵a
0，b
0，∴
a
b
a
b
2
a

b
2
2
a
b
a
b
。
222
∴1a
1

2
2。（）
设等比数列a
的公比为q，由a
0知q0，下面用反证法证明q1若q1则a1（）矛盾。若0q1则a1矛盾。∴综上所述，q1。∴a
a1
N，∴1a1又∵b
1
2b
a
2a12a1b
a2qa21，∴当
logq1a1a2qa22，∴当
logq
2a1
时，a
1a1q

2，与
a时，
1a1q
1，（）与
2。

∴
N，b
是公比是
2a1
的等比数列。
若a1
2，则
1，于r