△DEG＝S△ACD＝×ACCDsi
30°＝33321133三棱锥BDEG的体积V＝S△DEGBH＝×3×＝3322变式训练在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点如图①．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连结B′C如图②．1若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′ADC的体积；2记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证：HF∥l；3求证：AD⊥B′E
图①
图②
f1解：在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连结B′O，所以B′O⊥AD因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O平面AB′D，所以B′O⊥平面ADC在△ABC中，∠BAC31＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为BC的中点，所以AC＝3，B′O＝所以S△ADC＝×22131×1×3＝所以三棱锥B′ADC的体积为V＝×S△ADC×B′O2431＝82证明：因为H为B′C的中点，F为CE的中点，所以HF∥B′E又HF平面B′ED，B′E平面B′ED，所以HF∥平面B′ED因为HF平面HFD，平面B′ED∩平面HFD＝l，所以HF∥l3证明：连结EO，由1知，B′O⊥AD31因为AE＝，AO＝，∠DAC＝30°，323所以EO＝AE2＋AO2－2AEAOcos30°＝6所以AO2＋EO2＝AE2所以AD⊥EO又B′O平面B′EO，EO平面B′EO，B′O∩EO＝O，所以AD⊥平面B′EO又B′E平面B′EO，所以AD⊥B′E题型3简单几何体的综合应用例32013徐州调研在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
3a－x×0xa，32111箱子的容积为Vx＝x2×si
60°×h＝ax2－x30xa．2881322由V′x＝ax－x＝0，解得x1＝0舍，x2＝a，48322且当x∈0，3a时，V′x0；当x∈3a，a时，V′x0，2所以函数Vx在x＝a处取得极大值，3这个极大值就是函数Vx的最大值：212212313V3a＝8a×3a－8×3a＝54a21答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3354备选变式（教师专享）四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a1求该四面体的体积的最大值；2当四面体的体积最大时，求其表面积．解：设箱底边长为x，则箱高为h＝
f解：1如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP得到AD⊥平面BPC，11111∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝S△BPCAP＋S△BPr