CPD＝S△BPCAD＝a3333222xaa2－－x44aa3a2136222＝（3a－x）x≤＝a当且仅当x＝a时取等号．12122821∴该四面体的体积的最大值为a382由1知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的6等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，2∴S
表
＝2×
3216a＋2××a×422
a2－
232610a3215a26a＝2a＋2a×4＝2a＋4＝4
23＋152a4
【示例】本题模拟高考评分标准，满分14分如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABCA1B1C1，其中D是AB的中点，E是BC的三等分点．求几何体BDEA1B1C1的体积．
aa学生错解：解∵BD＝，BE＝，∠DBE＝60°，231313∴S△DBE＝BDBEsi
∠DBE＝a2，S△A1B1C1＝A1B1B1C1si
60°＝a222424由棱台体积公式得1VBDEA1B1C1＝hS△BDE＋S△A1B1C1＋S△BDES△A1B1C131323323＝ha＋a2＋aa2324424473＋322＝ah72审题引导：1弄清组合体的结构，这里几何体DBEA1B1C1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；2运用体积公式进行计算．规范解答：
f解：如图，取BC中点F，连结DF、C1D、C1E、C1F，得正三棱台DBFA1B1C1及三棱锥C1DEF3∵S△A1B1C1＝a2，413S△DBF＝S△ABC＝a2，4分4161∴VDBFA1B1C1＝hS△DBF＋S△A1B1C1＋S△DBFS△A1B1C13133323732＝ha2＋a2＋aa2＝ah8分3416416481133∴VC1DEF＝ha2＝a2h，10分31241447323532∴VBDEA1B1C1＝VDBFA1B1C1VC1DEF＝ah－a2h＝ah14分4814438错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA1B1C1不是棱台．
12013南京调研如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2cm，高为5cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm答案：13解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13cm．
42一个圆锥的侧面展开图是圆心角为π，半径为18cm的扇形，则圆锥母线与底面所3成角的余弦值为________．2答案：3解析：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l＝18cm，由αl＝2πr，代入数据即4r122可得π×18＝2πr，解得r＝12cm，因此所求角的余弦值即为＝＝3l183
f32013济南模拟改如图所示，在正三棱锥SABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA＝23，则正三棱锥SABC外接球的表面积是________．答案：36π1解析：在正三棱锥SABC中，易证SB⊥AC，又MN∥BS，∴MN⊥AC∵MN⊥2AM，r