对任意
≥1，a
＝3
＋（－1）
12
＋（－1）
2
a0
证明：
a
＝3
1－2a
1＝3
1－2（3
2－2a）
2＝3
1－23
2＋22（3
3－2a）
3＝3
1－23
2＋223
3－23（3
4－2a）
4
………
………
＝3
1－23
2＋223
3－…＋（－1）
12
1＋（－1）
2
a0（－1）
2
a0前面的
项组成首项为3
1，公比为－的等比数列，这
项的和为：＝3
＋（－1）
12

∴a
＝3
＋（－1）
12
＋（－1）
2
a0
◆七、待定系数法：
求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数，可转化为特殊数列a
k的形式求解。一般地，形如a
1p
a
q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设
a
1kp（a
k）与原式比较系数可得
pk－kq，即
k
q，从而得等比数
p1
列a
k。
例
9、数列a


满足
a1
1，a



12
a

11（
≥2），求数列a


的通项公式。
解：由
a


12
a

11（
≥2）得
a


－2
12
（a
1－2），而
a1－21－2－1，
∴数列
a


－2是以
12
为公比，－1为首项的等比数列
最全的数列通项公式的求法4
f∴a


－2－（
12
）

1
∴a


2－（
12
）

1
说明：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列a
－2，从而达到解决问题的目的。
练习、1数列a
满足a11，3a
1a
70求数列a
的通项公式。
解：由3a
1

a

7

0得a
1

13
a


73
设
a

1k


13
a


k，比较系数得
k

k3

73
解得k


74
∴a


74
是以
13
为公比，以a1

74
1
74


34
为首项的等比数列
∴
a


74


34


1
13

a


74

31
143
2、已知数列a
满足a11，且a
13a
2，求a
．
解：设a
1t3a
t，则a
13a
2tt1，a
113a
1a
1是
以a11为首项以3为公比的等比数列a
1a113
123
1a
23
11
点评：求递推式形如a
1pa
q（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新
数列a
1

qp1

pa

q来求得也可用“归纳猜想证明”法来求，这也是近年高考考得1p
很多的一种题型．
2、递推式为a
1

pa


q

1
（p、q
为常数）时，可同除
q

1
，得
a
1q
1

pa
qq

1，令b


a
q

从而化归
为a
1pa
q（p、q为r