常数）型．
、例10．已知数列a
满足a11，a
3
2a
1
2，求a
．
解：将a


3


2a
1两边同除3

，得
a
3


1
2a
13


a
3

1
23
a
13
1
设b


a
3

，则b

1
23
b
1
．令
b

t

23
b
1
tb


23
b
1
1t3

t

3．条件可化成b


3

23
b
1

3
，数列b


3是以b1

3

a13

3


83
为首项，
23
为公比的等比数列．b

3


83


23


1
．因
b


a
3


a

b
3

3
82
133
3

a


3
1
2
2．
3、形如a
1pa
a
bp1、0，a0
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a
1x
1ypa
x
y，与已知递
推式比较，解出xy从而转化为a
x
y是公比为p的等比数列。例11设数列a
：a14a
3a
12
1
2，求a

最全的数列通项公式的求法5
f解：令a
1x
1y3a
x
y
化简得：a
13a
2x
2yx
2x2
x1
所以
2
y

x

1解得

y

0
，所以a
1
13a

又因为a115，所以数列a
是以5为首项，3为公比的等比数列。
从而可得a
53
1所以a
53
1
变式（2006，山东文22本小题满分14分）
已知数列｛a
｝中，a1

12
、点（
、2a
1
a
）在直线
yx
上，其中

123…新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc
特级教师王新敞wxckt126com
新疆源头学子小屋
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Ⅰ令b
a
1a
3求证数列b
是等比数列；
Ⅱ求数列a
的通项；
4、形如a
1pa
a
2b
cp1、0，a0
解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令
a
1x
12y
1cpa
x
2y
c，与已知递推式比较，解出xyz从而转化
为a
x
2y
c是公比为p的等比数列。
例12设数列a
：a14a
3a
12
21
2，求a

5递推公式为a
2pa
1qa
（其中p，q均为常数）。
解法一待定系数法：先把原递推公式转化为a
2sa
1ta
1sa

其中
s，t
满足
stst
pq
解法二特征根法：对于由递推公式a
2pa
1qa
，a1a2给出的数列a
，方程
x2pxq0，叫做数列a
的特征方程。若x1x2是特征方程的两个根，当x1x2时，数
列a

的通项为a


Ax1
1

Bx

2
1
，其中
A，B
由a1
a2

决定（即把a1a2x1x2和

12，代入a


Ax1
1

Bx

2
1
，得到关于
A、B
的方程组）；当
x1

x2时，数列
a

的通项
为a



A

B

x
11
，其中
A，B
由a1
a2

决定（即把a1a2x1x2和
12，代入
a
AB
x1
1，得到关于A、B的方程组）。
最全的数列通项公式的求法6
f例
13已知数列a
中，a1
1
a2

2

a
2

23
a
1

13
a

，求a

。r