式新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc特级教师王新敞wxckt126com新疆源头学子小屋httpwwwxjktygcomwxc特级教师王新敞wxckt126com
◆四、累加(乘)法
对于形如a
1a
f
型或形如a
1f
a
型的数列,我们可以根据递推公式,写出
取1到
时的所有的递推关系式,然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。
例4若在数列a
中,a13,a
1a
,求通项a
。
解析:由a
1a
得a
1a
,所以
a
a
1
1,a
1a
2
2,…,a2a11,
将以上各式相加得:a
a1
1
21,又a13
最全的数列通项公式的求法2
f所以
a
12
3
例5在数列a
中,a11,a
12
a
(
N),求通项a
。
解析:由已知a
1a
2
,a
a
1
2
1,a
1a
2
2
2,…,a2a1
2,又a1
1,
所以
a
a
a
1
a
1a
2
…a2a1
a12
1
1
2
2…2122
◆五、取倒(对)数法
a、a
1pa
r这种类型一般是等式两边取对数后转化为a
1pa
q,再利用待定系数法求解
b、数列有形如
f
a
a
1a
a
1
0的关系,可在等式两边同乘以
1a
a
1
先求出
1a
再求得a
c、a
1
f
a
g
a
h
解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为a
1
pa
q
。
例
6.设数列a
满足a1
2
a
1
a
a
3
N求a
解:原条件变形为a
1a
3a
1
a
两边同乘以
a
1a
1
得1
3
1a
1a
1
∵(31111113
1a
2a
12a
2
∴a
223
1
1
例7
、
设正项数列a
满足a1
1,a
2a
2
1
(
≥2)求数列
a
的通项公式
解:两边取对数得:
log
a
2
1
2
log
a
12
,
log
a
2
1
2log
a
12
1
,设
b
log
a
2
1
,
则b
2b
1
b
是以
2
为公比的等比数列,
b1
log
12
1
1
b
12
1
2
1
,
log
a
2
1
2
1
,
log
a
2
2
11,
∴a
22
11
变式
1已知数列{a
}满足:a1=
32
,且
a
=
2a
3-
1+a
-
1-1(
2,
N)
(1)求数列{a
}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数
,不等式a1a2……a
2
!
2、若数列的递推公式为a1
3
1a
1
1a
2
,则求这个数列的通项公式。
最全的数列通项公式的求法3
f3、已知数列a
满足a11
2时,a
1a
2a
1a
,求通项公式。
4、已知数列{a
}满足:a
3
a
1a
1
1
a1
1,求数列{a
}的通项公式。
5、若数列{a
}中,a
1
1,a
1
2a
a
2
∈N,求通项a
.
◆六、迭代法
迭代法就是根据递推式,采用循环代入计算
例8、(2003高考广东)
设a0为常数,且a
=3
1-2a
1(
为正整数)证明r