ax22xl
x(a≠0,a∈R).(1)判断函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,求证:f(x1)f(x2)<3.【分析】(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可;(2)求出f(x1)f(x2)(l
a)(1l
2),令h(a)(l
a)(1l
2),(0<a<),根据函数的单调性证明即可.【解答】解:(1)由题意得,函数f(x)的定义域是(0,∞),f′(x)2ax2,
令g(x)2ax22x1,△48a,①a≥时,△48a≤0,f′(x)≥0恒成立,则f(x)在(0,∞)递增;②a<时,△48a>0,由g(x)0,解得:x1(i)0<a<时,0<x1<x2,
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,x2
,
f此时f(x)在区间(x1,x2)递减,在(0,x1),(x2,∞)递增;(ii)a<0时,x2<0<x1,此时f(x)在区间(x1,∞)递减,在(0,x1)递增,∴a≥时,f(x)在(0,∞)递增,0<a<时,f(x)在区间(x1,x2)递减,在(0,x1),(x2,∞)递增,a<0时,f(x)在区间(x1,∞)递减,在(0,x1)递增;(2)证明:由(1)得0<a<时,函数f(x)有2个极值点x1,x2,且x1x2,x1x2,
∴f(x1)f(x2)(l
a)(1l
2),令h(a)(l
a)(1l
2),(0<a<),则h′(a)()>0,
∴h(a)在(0,)递增,则h(a)<h()(l
2)(1l
2)3,即f(x1)f(x2)<3.【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及分类讨论思想,考查不等式的证明,是一道中档题.
请考生在22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做第一个题目计分,作答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修44:坐标系与参数方程22.(10分)(2016秋珠海期末)已知直线C1:(r>0,θ为参数).(1)当r1时,求C1与C2的交点坐标;(2)点P为曲线C2上一动点,当r时,求点P到直线C1距离最大时点P的坐标.(t为参数),曲线C2:
【分析】(1)参数方程化为普通方程,即可求C1与C2的交点坐标;(2)利用圆的参数方程,结合点到直线的距离公式、三角函数公式,即可求点P到直线C1距离最大时点P的坐标.
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f【解答】解:(1)直线C1:
(t为参数)的普通方程为yx1,当r1时,曲线
C2:
(r>0,θ为参数)的普通方程为x2y21.
联立方程,可得C1与C2的交点坐标为(1,0),(0,1);(2)设P(),则点P到直线C1距离
d当cos(θ
)1,即θ2kπ(k∈Z)时,dmax,此时Pr