时，fx单调递减故fx的单调递增区间为0，单调递减区间为0当x0时，fxf00，即1xex
111，得1e
，即1
e①

bbbbb11（Ⅱ）1111112；1212221221232；a11a1a2a1a22
1
令x
b1b2b3b1b2b313231331343a1a2a3a1a2a33
由此推测：
b1b2a1a2
b
1
a

②
下面用数学归纳法证明②（1）当
1时，左边右边2，②成立（2）假设当
k时，②成立，即当
k1时，bk1k11
b1b2a1a2bkbk1b1b2akak1a1a2b1b2a1a2bkk1kak
1k1ak1，由归纳假设可得k1
bkbk11k1k1kk11k2k1akak1k1
所以当
k1时，②也成立根据（1）（2），可知②对一切正整数
都成立（Ⅲ）由c
的定义，②，算术几何平均不等式，b
的定义及①得
T
c1c2c3c
a11a1a22a1a2a33
111
a1a2
1
a

f1
1
1
1
b1bb2bbb3112123234
b1bbbbb31212122334
bbb
12
1
b1b2b

11
1b
1
1
11b11223
111b2
12334
b11
111b2
12
1
11b

111
a

b1b212
b
1111a112a2
12
ea
eS

ea1ea2
即T
eS
（陕西）21．（本小题满分12分）设f
x是等比数列1，x，x2，，x
的各项和，其中x0，
，
2．（I）证明：函数F
xf
x2在
1，且1内有且仅有一个零点（记为x
）2
x

11
1x
；22
g
x，比较f
x
（II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为与g
x的大小，并加以证明．
【答案】（I）证明见解析；（II）当x1时，
f
xg
x，当x1时，
f
xg
x，证明见解析．
【解析】试题分析：（I）先利用零点定理可证F
x在单调性可证F
x在
11内至少存在一个零点，再利用函数的2
11内有且仅有一个零点，进而利用x
是F
x的零点可证2
x

11
1x
；（II）先设hxr