情况，研究集合M中的元素个数，最后得出结论集合M的元素个数的最大值为8试题解析：（Ⅰ）由已知
2a
，a
≤18，a
12a
36，a
18
可知：
a16a212a324a412
M61224
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3的倍数，由已知
2a
，a
≤18，a
1，可用用数学归纳法证明对任意
k，a
是3的倍数，当2a
36，a
18
k1时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果k1时，因为ak2ak1或
2ak136，所以2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数，类似可得，
ak2a1都是3的倍数，从而对任意
1，a
是3的倍数，因此M的所有元
素都是3的倍数
f（Ⅲ）由于M中的元素都不超过36，由a136，易得a236，类似可得
a
36，其次M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个
数必定为偶数，由a
的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M中的数除以9的余数由定义可知，a
1和2a
除以9的余数一样，
考点：1分段函数形数列通项公式求值；2归纳法证明；3数列元素分析（广东）21．（本小题满分14分）数列a
满足a12a2
a
41求a3的值；2求数列a
前
项和T
；3令b1a1，b

2
N2
1
T
11111a
2，证明：数列b
的前
项和
23

S
满足S
22l

11【答案】（1）；（2）242

1
；（3）见解析．
f（3）依题由b

a1a2a
111
2
a11a
知b1a1，b211a2，
22
f【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前
项和、不等式放缩等知识，属于中高档题．湖北22．（本小题满分14分）
1已知数列a
的各项均为正数，b
1
a
N，e为自然对数的底数．

1（Ⅰ）求函数fx1xex的单调区间，并比较1
与e的大小；
（Ⅱ）计算
b1bbbbbbb，12，123，由此推测计算12a1a1a2a1a2a3a1a2
1
b
的公式，并给出证明；a

（Ⅲ）令c
a1a222．（14分）
a
，数列a
，c
的前
项和分别记为S
T
证明：T
eS

（Ⅰ）fx的定义域为，fx1ex当fx0，即x0时，fx单调递增；当fx0，即x0r