f
xg
x，再对x的取值范围进行讨论来判断22
hx与0的大小，进而可得f
x和g
x的大小．
试题解析：（I）F
xf
x21xx2
x
2则F
1
10
f111F
1222
所以F
x在
2
11
1221212

1
2
102

11内至少存在一个零点x
21
1又F
x12x
x0，故在1内单调递增，2
所以F
x在
11内有且仅有一个零点x
2
因为x
是F
x的零点，所以F
x
0，即

1x
11120，故x
x
1221x

11xII解法一：由题设，gx

2
设hxf
xg
x1xx当x1时f
xg
x当x1时hx12x若
2
x


11xx0

2

x

1

1x
12
0x1

hxx
12x
1

x
1

1
1x2


1
1
1
1xx022
1
若x1hxx
2x
1

x
1

1
1
1
1
1
1xxx0222
所以hx在01上递增，在1上递减，所以hxh10，即f
xg
x综上所述，当x1时f
xg
x；当x1时f
xg
x解法二由题设，f
x1xx当x1时f
xg
x当x1时用数学归纳法可以证明f
xg
x当
2时f2xg2x2

11xx0xgx


2
11x20所以f2xg2x成立2
假设
kk2时，不等式成立，即fkxgkx那么，当
k1时，
ffk1xfkxx
又gk1x令
k1
gkxx
k
k1
k11xx
k
k1
2
2xk1k1xkk12
2x
k1
k1xk1kx2
k1
k1xk12
，则
hkxkxk1k1xk1x0
hkxkk1xkkk1xk1kk1xk1x1
x0hkx在01上递减；所以当0x1hk
x0hkx在1上递增当x1hk
所以hkxhk10，从而gk1x
2xk1k1xkk12
故fk1xgk1x即
k1，不等式也成立所以，对于一切
2的整数，都有f
xg
x解法三由已知，记等差数列为ak等比数列为bkk12

1则a1b11，
a
1b
1x
，
所以ak1k1
x
12k
bkxk12k

令mkxakbk1
k1r