．故gt只有唯一零点t0，即方程（）只有唯一解t0，故假设不成立．所以不存在a1，d及正整数
，k，使得a1，a2

k
13

，a3

2k
，a4

3k
依次构成等比数列．
考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程（安徽）（18）（本小题满分12分）设
N，x
是曲线yx
2
2
1在点1，2处的切线与x轴交点的横坐标
（Ⅰ）求数列x
的通项公式；
2（Ⅱ）记T
x12x32x2
1，证明T

14

【答案】（1）x
【解析】

1；（2）T
14

试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线进行求导，得出曲线yx
2
2
1在点1，2处的切线斜
率为2
2从而可以写成切线方程为y22
2x1令y0解得切线与x轴交点的横坐标x
1（Ⅱ）要证T

1
1
1
1，需考虑通项x2
12，通过适当放缩能够使得每项相消先表示出4

f考点：1曲线的切线方程；2数列的通项公式；3放缩法证明不等式（北京）20（本小题13分）
2a
，a
≤18，…．已知数列a
满足：a1N，a1≤36，且a
1
1，2，2a
36，a
18
记集合Ma
N．（Ⅰ）若a16，写出集合M的所有元素；（Ⅱ）若集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．【答案】（1）M61224，（2）证明见解析，（3）8【解析】①试题分析：（Ⅰ）由


a16，可知a212a324a412则
M61224；（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设ak是3
f的倍数，用数学归纳法证明对任意
k，a
是3的倍数，当k1时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果k1时，因为ak2ak1或2ak136，所以
2ak1是3的倍数，于是ak1是3的倍数，类似可得，ak2a1都是3的倍数，
从而对任意
1，a
是3的倍数，因此M的所有元素都是3的倍数第二步集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设
ak是3的倍数，由已知
2a
，a
≤18，a
1，用数学归纳法证明对任意
k，a
是3的倍数；第三步2a
36，a
18
由于M中的元素都不超过36，M中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由a
的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，a
1和2a
除以9的余数一样，分a
中有3的倍数和a
中没有3的倍数两种r