专题九导数及其应用
1（15北京理科）已知函数fxl

1x．1x
（Ⅰ）求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；
x31时，fx2x；（Ⅱ）求证：当x0，3x31恒成立，求k的最大值．（Ⅲ）设实数k使得fxkx对x0，3
【答案】（Ⅰ）2xy0，（Ⅱ）证明见解析，（Ⅲ）k的最大值为2
试题解析：（Ⅰ）fxl

1x2x11fxf02f00，曲线1x1x2
yfx在点0，f0处的切线方程为2xy0；
xx3x0，对x01成立，设1时，fx2x，即不等式fx2（Ⅱ）当x0，33
3
Fxl

1xx3x32x42xl
1xl
1x2x，则Fx，当1x331x2
x0，1时，Fx0，故Fx在（0，1）上为增函数，则FxF00，因此对x01，
fx2x
x3
3
成立；
f1xxx31，等价于Fxl
1；kx0，x0，（Ⅲ）使fxkx成立，x0，31x3
3
Fx
2kx42k2k1x，1x21x2
x0，函数在（0，1）上位增函数，FxF00，符合题意；当k02时，F
x0x04当k2时，令F
k201，k
x
Fx
Fx
0x0

x0
0极小值
x01



FxF0，显然不成立，
综上所述可知：k的最大值为2考点：1导数的几何意义；2利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3含参问题讨论2（15北京文科）设函数fx
x2kl
x，k0．2
（Ⅰ）求fx的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若fx存在零点，则fx在区间1e上仅有一个零点．


【答案】（1）单调递减区间是0k，单调递增区间是k；极小值fk见解析
k1l
k；（2）证明详2
f所以，fx的单调递减区间是0k，单调递增区间是k；
fx在xk处取得极小值fk
k1l
k2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，fx在区间0上的最小值为fk因为fx存在零点，所以
k1l
k0，从而ke2
k1l
k2
当ke时，fx在区间1e上单调递减，且fe0，所以x
e是fx在区间1e上的唯一零点
1ek0，fe0，22
当ke时，fx在区间r