32导数的应用考点一导数与函数的单调性12015安徽105分函数fxax3bx2cxd的图象如图所示则下列结论成立的是
Aa0b0c0d0Ba0b0c0d0Ca0b0c0d0Da0b0c0d0答案A52015重庆1912分已知函数fxax3x2a∈R在x处取得极值1确定a的值2若gxfxex讨论gx的单调性解析1对fx求导得fx3ax22x因为fx在x处取得极值所以f0即3a20解得a2由1得gxex故gxexexexxx1x4ex令gx0解得x0x1或x4当x4时gx0故gx为减函数当4x1时gx0故gx为增函数当1x0时gx0故gx为减函数当x0时gx0故gx为增函数综上知gx在∞4和10内为减函数在41和0∞内为增函数62015天津2014分已知函数fx4xx4x∈R1求fx的单调区间
f2设曲线yfx与x轴正半轴的交点为P曲线在点P处的切线方程为ygx求证对于任意的实数x都有fx≤gx3若方程fxaa为实数有两个实数根x1x2且x1x2求证x2x1≤解析1由fx4xx4可得fx44x3当fx0即x1时函数fx单调递增当fx0即x1时函数fx单调递减所以fx的单调递增区间为∞1单调递减区间为1∞2证明设点P的坐标为x00则x0fx012曲线yfx在点P处的切线方程为yfx0xx0即gxfx0xx0令函数Fxfxgx即Fxfxfx0xx0则Fxfxfx0由于fx4x34在∞∞上单调递减故Fx在∞∞上单调递减又因为Fx00所以当x∈∞x0时Fx0当x∈x0∞时Fx0所以Fx在∞x0上单调递增在x0∞上单调递减所以对于任意的实数xFx≤Fx00即对于任意的实数x都有fx≤gx3证明由2知gx12x设方程gxa的根为x2可得x2因为gx在∞∞上单调递减又由2知gx2≥fx2agx2因此x2≤x2类似地设曲线yfx在原点处的切线方程为yhx可得hx4x对于任意的x∈∞∞有fxhxx4≤0即fx≤hx设方程hxa的根为x1可得x1因为hx4x在∞∞上单调递增且hx1afx1≤hx1因此x1≤x1由此可得x2x1≤x2x1
f72015四川2114分已知函数fx2xl
xx22axa2其中a01设gx是fx的导函数讨论gx的单调性2证明存在a∈01使得fx≥0恒成立且fx0在区间1∞内有唯一解解析1由已知函数fx的定义域为0∞gxfx2x1l
xa所以gx2当x∈01时gx0gx单调递减当x∈1∞时gx0gx单调递增2证明由fx2x1l
xa0解得ax1l
x令φx2xl
xx22xx1l
xx1l
x21l
x22xl
x则φ110φe22e0r