面AES⊥面SBC．由AO⊥面SBC于O，则AO在面AES内，O在SE上．AO与SO相交于点F．∵ABC为正三角形，AB6，故AE33，OE3．∵SO3，∴ta
∠OES3，∠E60°．3∴OEAEcos60°3．29作OG⊥平面ABC，则垂足G在AE上．OGOEsi
60°．4∵APPH88，∴，PH2．POOG932693．4
PO
AOBEC
S
OFPAOHGE
设过P与底面平行的截面面积为s，截面与顶点S的距离3－21．∴∴S△ABC
s12，故s3．SABC3
五．本题满分20分已知：对任意的
∈N，有a
0，且

ΣΣa．求证：a
．
aj
3j2




j1

j1
证明：由已知，a13a12，a10，∴a11．设
≤kk∈N，且k≥1时，由当
k1时，
Σ
j1
aj
3
Σa成立可证ak成立．
j2k
j1
ΣΣ
aj
3
k1j1
k1j1
aj2
Σ
j1
k
aj22ak1
Σaa
j
k
2k1．
j1
11132即k2k12ak1k2k122ak1kk1ak1．442∴ak1－ak1－kk10，解此方程，得ak1－k或ak1k1．由a
0知，只有ak1k1成立．即
k1时命题也成立．由数学归纳原理知对于一切
∈N，a
成立．
2
9
f1989年全国高中数学联赛
第二试一．本题满分35分已知在ΔABC中，ABAC，A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证2AFABAC．E证明：在FB上取FGAF，连EG、EC、EB，5A于是ΔAEG为等腰三角形，∴EGEA．4F又3180－EGA180－EAG180－54．3G12．于是ΔEGBΔEAC．BGAC，2故证1
BC
二．已知xi∈Ri1，2，…，
；
≥2，满足
Σ
i1


xi1，1
Σx0，
i


i1
求证：
≤－．Σi22
xi1
i1


证明：由已知可知，必有xi0，也必有xj0i，j∈1，2，…，
，且i≠j．设xi1，xi2，…，xil为诸xi中所有0的数，xj1，xj2，…，xjm为诸xi中所有0的数．由已知得11Xxi1xi2…xil，Yxj1xj2…xjm－．22于是当
ΣiΣlΣh≤Σxi－
Σxj2－22－2
．Σl－Σh时，
xi1X－Y11
k
xil
m
xjh


k
xil
m
xjh
k
m
kxmxk－YX11xi1miljhiljh于是当－时，－－≤－x－xjh－－．illhlh1h
h12222
i1il1h1l1l1
Σ
l1kx
h1mx
Σ
1
Σ
i1

l1
h1
l1
l
h1
h
ΣΣ
Σ
Σ
总之，
≤－成立．Σi22
xi1
i1


三．有
×
（
≥4的一张空白方格表，在它的每一个方格内任意的填入1与1这两个数中的一个，现将表内
个两两既不同行横又不同列竖的方格中的数的乘积称为一个基本项．试证明：按上述方式所填成的每一个方格表，它的全部基本项之和r