1990年全国高中数学联赛
1990年全国高中数学联赛
第一试10月14日上午8∶0010∶00一．选择题本题满分30分，每小题5分1．设α∈，则coscos，si
cos，cossi
的大小顺序是42A．coscossi
coscossi
B．coscoscossi
si
cosC．si
coscoscoscossi
D．cossi
coscossi
cos2．设fx是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈23时，fxx，则当x∈－20时，fx的解析式是A．fxx4B．fx2xC．fx3－x1D．fx2x13．设双曲线的左右焦点是F1、F2，左右顶点是M、N，若△PF1F2的顶点P在双曲线上，则△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点位置是A．在线段MN内部B．在线段F1M内部或在线段NF2内部C．点M或点ND．不能确定的114．点集x，ylgx3错误！未指定书签。y3lgxlgy中元素个数为39A．0B．1C．2xxyD．多于2
1990


5．设非零复数x、y满足x2xyy20，则代数式A．2
－1989

y1990xy的值是

B．－1
22
C．1
D．以上答案都不对
xy6．已知椭圆221ab0通过点2，1，所有这些椭圆上满足y1的点的集合用阴影表示是下面图ab中的
y
21
y
21
y
21
y
21
xO
5，0
xO
21
O
x
5，0
xO
21
A
B
C
D
二．填空题本题满分30分，每小题5分111．设
为自然数，a、b为正实数，且满足ab2，则的最小值是1a
1b
．
2．设A2，0为平面上一定点，Psi
2t－60°，cos2t－60°为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．3．设
为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有x2y2z22
x4y4z4成立，则
的最小值是．4．对任意正整数
，连结原点O与点A
，
3，用f
表示线段OA
上的整点个数不计端点，试求f1f2f1990．5．设
1990，则1246199819901－3C
32C
－33C
3994C
－3995C
2
．
1
f1990年全国高中数学联赛
6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有列方法．只要把圆旋转一下就能重合的排法认为是相同的．三．本题满分20分
种不同和排
2abπ已知a，b均为正整数，且ab，si
θ22，其中0θ，A
a2b2
si
θ．求证：对于一切自然数ab2
，A
均为整数．
四．
2个正数排成
行
列a11a12a13a14a1
a21a22a23a24a2
a31a32a33a34a3
a41a42a43a44a4
a
1a
2a
3a
4a
13其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a241，a42r