2009全国高中数学联合竞赛一试试题全国高中数学联合竞赛一试试题
（考试时间10月11日8：00－9：40）本试卷共二个大题，满分100分，不能使用计算器填空题（本大题共8小题每题7分小题，一、填空题（本大题共小题，每题分，共56分）分
fx
1、若函数
x1x
2
且f


xfffLfx14423

，则f
99
1
；
2、已知直线L：xy90和圆M：2x2y8x8y10，点A在直线L上，B、
22
C为圆M上两点，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB过圆心M，则点A的横坐标的范围为；
3、在坐标平面上有两个区域M，N，M为
y≥0y≤xy≤2x
，N是随t变化的区域，它由不等式
t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，设M，N的公共面积是ft，则ft＝
1111La2007
13对一切正整数
都成立的最小正整数a的值4、使不等式
1
1
为
x2y221ab02b5、椭圆a上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则乘积OPOQ的最小值
为6、若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是7、一个由若干数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排除的行，则最后一行的数是（可以用指数表示）。8、某车站每天8：009：00，9：0010：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为到站时刻概率8：109：108：309：308：509：50
16
12
13
一旅客8：20到站，则他候车时间的数学期望为（精确到分）解答题（本大题共3小题小题，二、解答题（本大题共小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
x2y211、（本题14分）设直线lykxm（其中k，m为整数）与椭圆1612交于不同的x2y2112交于不同的两点C，D，问是否存在直线l使得向量两点A，B，与双曲线4
fACBD0，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由。
2、（本题15分）已知pqq≠0是实数，方程xpxq0有两个实根α，β，数列｛a
｝
2
满足
a1pa2p2qa
pa
1qa
2
34L

（1）求数列｛a
｝的通项公式（用α，β表示）
（2）若
p1q
14，求数列｛a
｝的前
项的和
3、（本题15分）求函数y
x2713xx的最大值和最小值。
f2009全国高中数学联合竞赛二试试题全国高中数学联合竞赛二试试题
（考试时间10月11日9：40－12：10）本试卷共四个大题，满分200分一、（50分r