2009年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准
说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．
小题，一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）填空（
1．．
若函数fx
x1x2
．
f
xfffLfx4且1442444，则3

f
99
1
1【答案】10答案】
【解析】解析】
fxfx
1
x1x2
，
f
2
x
x
ffx
x199x2
x12x2
……
f
99
．
1f991故10．
f2．．
6【答案】3，答案】
已知直线Lxy90和圆M2x2y8x8y10，A点上两点，在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，∠BAC45°，AB过圆心M，则点A横坐标范围为．
22
9【解析】设Aa，a，解析】则圆心M到直线AC的距离dAMsi
45°，由
相交，直线AC与圆M相交，得d≤
34．解得3≤a≤6．2
3．．
y≥0y≤x在坐标平面上有两个区域M和N，M为，N是随t变化的y≤2x
区域，所确定，区域，它由不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数ft．
1t2t答案】【答案】2
f【解析】由题意知解析】
ftS阴影部分面积
y
SAOBSOCDSBEF
1121t21t22
CD
AEFBx
t2t
12
O
4．．
1111La2007对一切正整数
都使不等式
1
22
13
成立的最小正整数a的值为．
【答案】答案】
2009
111f
L解析】单调递减，【解析】设
1
22
1．显然f
单调递减，则
由f
的最大值f1a20073，可得a
1
2009．
5．．
x2y2椭圆a2b21ab0上任意两点P，Q，若OP⊥OQ，则
乘积
OPOQ
的最小值为
．
2a2b2答案】【答案】a2b2
f【解析】设POPcosθ，OPsi
θ，解析】


ππQOQcosθ±，OQsi
θ±．22
在椭圆上，由P，Q在椭圆上，有1cos2θsi
2θ22a2bOP
si
2θcos2θ2a2b2OQ1
①②
①②得11112222ab．OPOQ
2ab2a2b2OPOQOPOQ达到最小值22．于是当a2b2时，ab
22
6．．
若方程是
lgkx2r