2009年全国高中数学联合竞赛一试试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题7分，共56分。把答案填在横线上。1、若函数fx
x1x
2
且f


x
99ffLfx则f1_______
f1
2、
11112399f1ff1f1fff1f110234
已知直线L：xy90和圆M：2x22y28x8y10，点A在直线L上，B、C为圆M上两点，在ABC中，∠BAC＝450，AB过圆心M，则点A横坐标范围为＿＿＿＿。
数形结合可知AM≤2rx2y2≤2×
22
173≤x≤62
3、
y≥0在坐标平面上有两个区域M和N，M为：y≤x，N是随t变化的区域，它由y≤2x不等式t≤x≤t1所确定，t的取值范围是0≤t≤1设M和N的公共面积是函数ft，则ft＝＿＿＿＿＿＿。1112ft1t21tt2t0≤t≤1222
4、
1111La2007对一切正整数
都成立的
1
22
13最小正整数a的值是＿＿＿＿。
使不等式
Q
111111LLk1k22k1k2k32k3111110k12k22k32k22k3111111L↓a2007a2009
1
22
1233
5、
1
fx2y21ab0上任意两点P，Q，若OP⊥OQ则乘积OPOQa2b2的最小值为＿＿＿＿＿＿＿。椭圆
分析：　设Pacosθbsi
θQasi
θbcosθOPOQa2cos2θb2si
2θa2si
2θb2cos2θ
a
4
b4si
2θcos2θa2b2si
4θcos4θ
a2b2a4b4si
2θcos2θ2a2b2si
2θcos2θa2b2
6、
12222absi
2θ≥ab4
若方程lgkx2lgx1仅有一个实根，那么k的取值范围是＿＿＿＿。
kx0分析：x1数形结合法由二次方程根的分布可知x22kx10＝k24k02＝k4k0k0或k4k421k21Qf010∴f1k0x2综合知k∈∞0U4
7、一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是＿＿＿＿。
分析：2　　4　　6　　LL　　　　　13　　5　　7　　99100　　　　5　　9　　　　　　　　　　　3　　7　　11L197199　　　　　121620L　　　　　　8　　　　　　　　392396　　　　　　　　　　　　　　　　　202836L7881
1aa
第
行r