方形铁片通过裁剪拼接的方式将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器只有一个下底面和侧面的长方体该活动小组接到任务后立刻设计了一个方案如下图所示按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后将剩下的部分焊接成长方体如图2请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积最大容积是多少是否符合要求若不符合请你帮他们再设计一个能符合要求的方案简单说明操作过程和理由
解1设切去正方形边长为x则焊接成的长方体的底面边长为42x高为x232所以V142xx4x4x4x0x2………………………4分2∴V143x8x4…………………………………………………5分22令V10即43x8x40解得x1x22舍去………………7分3∵V1在02内只有一个极值21281285即不符合要求………9分∴当x时V1取得最大值327272重新设计方案如下如图①在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形如图②将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间如图③将图②焊成长方体容器新焊长方体容器底面是一个长方形长为3宽为2此长方体容积V23×2×16显然V25故第二种方案符合要求
图①图②图③……………………………………………………………13分注第二问答案不唯一
21本小题满分13分21
f已知函数fxal
xx为实常数
2
Ⅰ若a2求证函数fx在1∞上是增函数Ⅱ若存在x∈1e使得fx≤a2x成立求实数的取值范围Ⅲ求函数fx在1e上的最小值及相应的x值解Ⅰ当a2时fxx22l
x当x∈1∞f′xⅡ不等式fx≤a2x
2x210x故函数fx在1∞上是增函数………………………………………………………………………2分
可化为axl
x≥x22x∵x∈1e
∴l
x≤1≤x且等号不能同时取所以l
xx即xl
x0因而a≥令gx
x22xx∈1e…4分xl
x
x1x22l
xx22xx∈1e又g′x……………………………………xl
xxl
x2当x∈1e时x1≥0l
x≤1x22l
x0…………………………………………………6分从而g′x≥0仅当x1时取等号所以gx在1e上为增函数………………………………故gx的最小值为g11所以实数的取值范围是1∞……………………………………8分
Ⅲf′x
2x2r