1limx0ax0

0，使得fcosfsi
0成立
○拉格朗日中值定理（★）
x
【题型示例】证明不等式：当x1时，eex【证明示例】
x
1．（建立辅助函数）令函数fxe，则对x1，显然函数fx在闭区间1x上连续，在开区间
（一般地，limxl
x0，其中R）
x0
⑵型（通分构造分式，观察分母）【题型示例】求值：lim
2．由拉格朗日中值定理可得，1x使得等式
1x上可导，并且fxex；
eex1e成立，
x1
11x0si
xx

x11又∵ee，∴eex1eexe，

1
【求解示例】11xsi
xxsi
x解：limlimlimx0si
xxx0xsi
xx0x2
0xsi
xlim1cosx1cosxlimsi
x0limlimLx0x0x02xLx02x2x2000
【题型示例】证明不等式：当x0时，l
1xx【证明示例】1．（建立辅助函数）令函数fxl
1x，则对
化简得eex，即证得：当x1时，eex
xx
⑶0型（对数求极限法）【题型示例】求值：limx
x0x
0
x0，函数fx在闭区间0x上连续，在开区
【求解示例】
【MeiWei81优质实用版文档】
f【MeiWei81优质实用版文档】
解：设yxx两边取对数得：l
yl
xxxl
x

l
x1x
l
xl
x对对数取x0时的极限：liml
ylimlimx0x01Lx01xx1liml
ylimxlimx0，从而有limylimel
yex0e01x0x0x0x012x
⑷1型（对数求极限法）【题型示例】求值：limcosxsi
x
x01x

⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前）第三节泰勒中值定理（不作要求）第四节函数的单调性和曲线的凹凸性○连续函数单调性（单调区间）（★★★）单调区间【求解示例】
【题型示例】试确定函数fx2x39x212x3的
1．∵函数fx在其定义域R上连续，且可导∴fx6x218x122．令fx
x1x206
1
，解得：x11x22
3．（三行表）
【求解示例】
x
fxfx
1

12

2
2

解：令ycosxr