可对角化矩阵的一些应用
摘要：本文主要通过例题说明了一种可相似于对角矩阵的方阵即可对角化矩阵
在以下几方面的应用：第一，讨论幂等矩阵的秩与迹的关系；第二，求方阵的高次幂；第三，由特征值和特征向量反求矩阵；第四，判断矩阵是否相似；第五，求行列式的值；第六，在几何上的应用．
关键词：对角矩阵；可逆矩阵；特征值；特征向量
引言：
相似关系的动力来自向量空间的同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的关系．复数域上
维线性空间V的一个线性变换A，在V中必定存在一组基，使A在这组基下的矩阵是若当形矩阵，即每个
级的复矩阵都与一个若当形矩阵相似．其中有一些线性变换，在适当选择的基下可以使它们在这组基下的矩阵成为对角形，即有一些矩阵与对角阵相似．这些矩阵不但在理论上有十分重要的意义，同时可以使矩阵的运算简化．本文介绍相似标准形是对角矩阵的一类矩阵在以下几方面的应用：第一，讨论幂等矩阵的秩与迹的关系；第二，求方阵的高次幂；第三，由特征值和特征向量反求矩阵；第四，判断矩阵是否相似；第五，求行列式的值；第六，在几何上的应用．
1矩阵可对角化的条件
矩阵可对角化的条件如下图所示：
A相似于对角矩阵
设Aaij
，则
A的
个特征值互异
A有
个线性无关特征向量
A是实对称矩阵A正交相似于实对角阵
A的所有ri重特征值对应ri个线
性无关特征向量
1
f2可对角化矩阵的应用
21讨论幂等矩阵的秩与迹的关系如果A2A，则方阵A称为幂等矩阵．由于矩阵的秩与迹都是相似关系
下的不变量，因此我们可以先求出幂等矩阵A的相似标准形D，从D容易看出它的秩与迹有什么关系，进而了解A的秩与迹的关系．
例1证明：数域K上的幂等矩阵一定可对角化，并且它的相似标准形是diagIr0，其中r是该幂等矩阵的秩．（diaga1a2a
表示对角线上元素为a1a2a
的
级对角矩阵，以下同此）
证明：设A是数域K上的一个
级幂等矩阵，它的秩为r．如果r0，则A0，结论显然成立．如果r
，则A可逆，从而由A2A得AI，结论也成立．下面设0r
．
设0是A的一个特征值，则有K
中非零列向量，使得A0，两边左乘A得：A20A，由此得出A20，即020，亦即0010．由于0，因此，00或01．
因此0IAA0，所以0是A的一个特征值．齐次线性方程组
0IAx0的解空间的维数为：
ra
kA
ra
kA
r（ra
kA表示矩阵A的秩，以下同此）．
因为A2A，所以AIA0，于是ra
kAra
kIA
r