．
又有

ra
kIra
kAIAra
kAra
kIA
因此得到ra
kAra
kIA

从而得到ra
kIA
ra
kA
r
由于r0，所以ra
kIA
r
，从而IA0．由此得出，1是A的一
个特征值．齐次线性方程组IAx0的解空间的维数等于

ra
kIA
rr
2
f综上述，A的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于
rr
，因此A可对角化．A的相似标准形中，特征值1在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数r，特征值0在主对角线上出现的次数等于相应的特征子空间的维数
r．于是A的相似标准形为diagIr0．
例2证明：数域K上的幂等距阵的秩等于它的迹．证明：设A是数域K上的一个
级幂等矩阵，它的秩为r．如果r0，则ra
kA0TrA（TrA表示矩阵A的迹，即主对角线元素之和，以下同）．如
果r
，则AI．从而ra
kA
TrA．下面设0r
．由例1，A相似
于diagIr0．于是ra
kArTrdiagIr0TrA．注：例2给出了求数域K上幂等距阵A的秩的简单方法：只要把A的主对
角元相加即得ra
kA．22求方阵的高次幂
求方阵的高次幂Ak（k为正整数），若直接计算A2，A3，……，按归纳
法来寻求Ak的规律有时是很困难的．若A可对角化，计算其高次幂Ak有简单方
1

法．事实上，若有
P1
AP


，其中



2


diag1

2




，



即有APP1．则有
kAkPP1PP1PP1PP1PP1PP1PP1PkP1，
而kdiag1kk2k

1k

故AkP
k2

P
1
．


k

3
f460
例
3设
A



3
5
0

，求
A100
．
361
460解：由AI3501220，得A的特征值
361
121，32．
对于特征值121解方程组AIx0，由
3AI3
66
0100
20
00
，得
x1

x2

2x2x2
，
360000

x3

x3
即

x1x2


k1

21

k2

00
，（
k1
，
k
2
均为任意常数）
x301
2
0
则
1
2
1对应的特征向量为P1

1

，
P2


0
．
0
1
对于特征值32，解方程组A2Ix0，由
6A2I3
63
0600
60
0101
10
01
，得
x1

x2

x1x1
，
363303000
x3x1
即

x1x2


k
3

11
，（
k
3
为任意常数）
x31
1
则3

2对应的特征向量为P3



1
．
1
201
110
令PP1P2P31
0

1
，
P1

1
2
1

，
011
120
4
f100
AP01
0

P
1

PP1，则
002
201100110




A100P100P1101010121
011002100120
21
00
21002100


11
12
01



21002100
21
2101221011
00

0
1
21001
2
0
r