关于矩阵逆的判定及求逆矩阵方法的探讨
摘要：矩阵的可逆性判定及逆矩阵的求解是高等代数的主要内容之一。本文给出判定矩阵是否可逆及求逆矩阵的几种方法。关键词：关键词：逆矩阵伴随矩阵初等矩阵分块矩阵
矩阵理论是线性代数的一个主要内容，也是处理实际问题的重要工具，而逆矩阵在矩阵的理论和应用中占有相当重要的地位。下面通过引入逆矩阵的定义，就矩阵可逆性判定及求逆矩阵的方法进行探讨。定义1
级方阵A称为可逆的，如果
级方阵B，使得ABBAE这里E是
级单位矩阵。定义2定理1如果B适合（1），那么B就称为A的逆矩阵，记作A1。如果A有逆矩阵，则逆矩阵是唯一的。（1）
逆矩阵的基本性质：性质1性质2当A为可逆阵，则A1
1A
若A为可逆阵，则A1kAk为任意一个非零的数都是可逆阵，且
kA111Ak≠0k
A11A
性质3性质4
AB1B1A1，其中A，B均为
阶可逆阵A1A1′
由性质3有定理2若A1A2A
≥2是同阶可逆阵，则A1A2A
是可逆阵，且A1A2
下面给出几种判定方阵的可逆性及求逆矩阵的方法：方法一定义法利用定义1，即找一个矩阵B，使ABE，则A可逆，并且A1B。方法二伴随矩阵法定义3设Aaij是
级方阵，Aij表示A的ij元的代数余子式ij1
，用
1
fA11矩阵A12A1

A
1A22A
2称为A的伴随矩阵，记作A。A2
A
A21
定理3
矩阵A可逆的充分必要条件是A≠0，并且当A可逆时有
A1
1A。A
定理证明见1定理3不仅给出了判断一个矩阵是否可逆的一种方法，并且给出了求逆矩阵的一种方法，但是这种方法主要用在理论上以及2级或3级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。由定理3逆矩阵判定的方法还有：推论31推论32推论33方法三定义4
级矩阵A可逆的充要条件是矩阵A的秩为
。矩阵A可逆的充要条件是它的特征值都不为0。
级矩阵A可逆的充分必要条件是它的行或列向量组线性无关。初等变换法对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：
1交换矩阵的两行列；2以一个非零的数k乘矩阵的某一行列；3把矩阵的某一行（列的k倍加到另一行列。
定理4
方阵A可逆的充分必要条件是A可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。
具体方法是：欲求A的逆矩阵时，首先由A作出一个
×2
矩阵，即AE，其次对这个矩阵施以行初等变换且只能r