，k为任意常数。…………………10分
六、解：设有x
0
x1x2xk使得
x0x11x22xkk0，
12………4分
x0x1x2xkx11x2
2
xkk0
若x0x1x2xk0，则可由12k线性表示，
是Ax0的解与已知矛盾故必有x0x1x2xk0，
从而x11x22xkk0，………………………………………………………7分由12k是Ax0的一个基础解系知12k线性无关，
x1x2xk0，x0x1x2xk0，
因此向量组12k线性无关…………………………………10分
46560011
2
七、解：由
AE
33

2，
得全部特征值为：12132，………………………………………4分将121代入AEx0得方程组
广东工业大学试卷用纸，共
3
页，第
5页
f3x16x203x16x203x6x012
解之得基础解系
201120…………6分01
同理将32代入AEx0得方程组的基础解系3111T………7分
2001210110，所以123线性无关，10011111，则有：PAP00101000………10分2
由于1231
0
令
P123
八、14分
1、证明：
A
2
A
，
AAE
0
rArAE

…………………………………………3分
又E

AE
A

rArE
ArArAE

故

rArAE
…………………………………………6
A00
分
2、证明：（1）因为若A0，则ATA而当ATA
2
；
0
T
时，由
T
AAA
AA
T
T
00
，得A0。
因此齐次线性方程组Ax0与ATAx故秩rA（2）因为秩
T
0，同解，
rAA。…………………………………………4
分
rAArAA，rAA，rArArAAA
TTTTTT
因此rATA，TA
r