与评分标准
课程名称：线性代数与几何（A）课时：48考试时间：2010年1月15日
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f一单选题（5分315分）1B2A3C
二填空题（5分315分）134

2
2

1
1
2

0
2
3k3210T2222Tk为任意常数
三（12分）
a1

111
T

a2

111T
混合取积点aP110a20P41P2l1，8点P02
000l2P1P2，故l1l2异面…
004
l1与l2
的距离d

a1
a2P1P2a1a2

822

2
2
公垂线l的方向向量l011
含ll1的平面方程为2x01y01z40含ll2的平面方程为2x01y01z00故公垂线l的方程为
2xyz402xyz0
11311

四（12分）A11

2

0
1
1
112
0021
①当2且1时rArA3方程组有唯一解
2
0

31
②当2时rA2rA3方程组无解…
1112
③当1时A000
0


r
A

A
1

3
方程组有无穷多解取一个
0000
特解200T易得导出组的一个基础解系为1110T2101T
故结构式通解为xc11c22c1c2为任意常数
1b10

五记Ab
a
1
D


1

，有
P1AP

PT
AP

D，1

02
13

4

111
4
0141a1014Ab
12
故
a

3b
1…
对10，解0IAx0得属于1的特征向量101T；
对21，解1IAx0得属于2的特征向量111T；
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f对34，解4IAx0得属于3的特征向量111T将上述3个特征向量再正交化，单位化，得正交矩阵
111

2
P0
31
62


36

1
1
1
236
六、（12分）由题知AIXA2IAIAI
001AI010可逆…
100
201故XAI1AIAIAI030
102
七、（12分）1W的基与维数为A的列向量组的极大无关组和秩…记A1234，可计算出A的极大无关组为123，
故W的基为123，维数为3……2基123到123的过渡矩阵记为P
100110
即
0
1
0


1
01P
001111
……………………
112
则T
在
1
2

3
下的矩阵为
PAP1


2
2
0

……
302
八（10分）记D12

由1
线性无关知D0而ADTDD20，即A可逆故对任意

维列向量b，方程组AXb均有解XA1b。……………
分别取b12
由方程组AXb均有解知，12
与A的列向量
组等价故rA
，从而ADTDD20得D0故1
线性无关
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