九年级数学专项训练《二次函数》
二次函数综合（动点与三角形）问题
一、知识准备：
抛物线与直线形的结合表现形式之一是，以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能构成某些特殊三角形，有以下常见的基本形式。（1）抛物线上的点能否构成等腰三角形；（2）抛物线上的点能否构成直角三角形；（3）抛物线上的点能否构成相似三角形；解决这类问题的基本思路：假设存在，数形结合，分类归纳，逐一考察。
二、例题精析
㈠【抛物线上的点能否构成等腰三角形】
例一．（2013铜仁地区）如图，已知直线y3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
考点：二次函数综合题专题：综合题．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线
解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（1，m），分三种情况讨论，①MABA，②MBBA，③MBMA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，3），
把A、B两点的坐标分别代入yx2bxc得：
，
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f解得：
九年级数学专项训练《二次函数》
．
∴抛物线解析式为：yx22x3．
（2）令y0得：0x22x3，解得：x11，x23，则C点坐标为：（3，0），AC4，
故可得S△ABCAC×OB×4×36．
（3）抛物线的对称轴为：x1，假设存在M（1，m）满足题意：讨论：
①当MAAB时，
，
解得：
，
∴M1（1，），M2（1，
②当MBBA时，
）；，
解得：M30，M46，∴M3（1，0），M4（1，6），
③当MBMA时，
，
解得：m1，∴M5（1，1），答：共存在五个点M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，6），M5（1，1）使△ABM为等腰三角形．点评：本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的性质及三角形的面积，难点在第三问，注意分类讨论，不要漏解．
㈡【抛物线上的点能否构成直角三角形】
例二．（2013鞍山）如图，已知一次函数y05x2的图象与x轴交于点A，r