与二次函数yax2bxc的图象交于y轴上的一点B，二次函数yax2bxc的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2．（1）求二次函数yax2bxc的解析式；（2）设一次函数y05x2的图象与二次函数yax2bxc的图象的另一交点为D，已知P为x轴上的一个动点，且△PBD为直角三角形，求点P的坐标．
考点：二次函数综合题．
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分析：（1）根据y05x2交x轴于点A，与y轴交于点B，即可得出A，B两点坐标，二次函数yax2bxc的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2．得出可设二次函数yax2bxca（x2）2，进而求出即可；（2）根据当B为直角顶点，当D为直角顶点，以及当P为直角顶点时，分别利用三角形相似对应边成比例求出即可．
解答：解：（1）∵y05x2交x轴于点A，∴005x2，∴x4，与y轴交于点B，∵x0，∴y2∴B点坐标为：（0，2），∴A（4，0），B（0，2），∵二次函数yax2bxc的图象与x轴只有唯一的交点C，且OC2∴可设二次函数ya（x2）2，把B（0，2）代入得：a05∴二次函数的解析式：y05x22x2；（2）（Ⅰ）当B为直角顶点时，过B作BP1⊥AD交x轴于P1点由
Rt△AOB∽Rt△BOP1∴
，
∴
，
得：OP11，∴P1（1，0），（Ⅱ）作P2D⊥BD，连接BP2，将y05x2与y05x22x2联立求出两函数交点坐标：D点坐标为：（5，45），
则AD，
当D为直角顶点时∵∠DAP2∠BAO，∠BOA∠ADP2，∴△ABO∽△AP2D，
∴，
，
解得：AP21125，则OP211254725，故P2点坐标为（725，0）；（Ⅲ）当P为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于点E，设P3（a，0）则由Rt△OBP3∽Rt△EP3D
得：
，
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∴
，
∵方程无解，∴点P3不存在，∴点P的坐标为：P1（1，0）和P2（725，0）．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及求函数与坐标轴交点和相似三角形的与性质等知识，根据已知进行分类讨论得出所有结果，注意不要漏解．
㈢【抛物线上的点能否构成相似三角形】
例三．（2013恩施州）如图所示，直线l：y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B．把△AOB沿y轴翻折，点A落到点C，抛物线过点B、C和D（3，0）．（1）求直线BD和抛物线的解析式．（2）若BD与抛物线的对称轴交于点M，点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与△MCD相似，求所有满足条件的点N的坐标．（3）在抛物线上是否存在点P，使S△PBD6？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
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